Analízis

Tartalom

Tartalomjegyzék
Bevezetés
1. Alapvető fogalmak és összefüggések 5
1.1. Halmazelméleti alapok 5
1.2. Halmazok számossága 13
1.3. Teljes indukció. Nevezetes azonosságok és egyenlőtlenségek 16
1.4. Valós számok és számhalmazok 25
1.5. Feladatok 30
2. Komplex számok 38
2.1. A komplex számok bevezetése 38
2.2. A komplex számok algebrai alakja 41
2.3. A komplex számok trigonometrikus alakja 47
2.4. Hatványozás és gyökvonás 50
2.5. Algebrai egyenletek C-ben 53
2.6. Feladatok 57
3. Sorozatok 63
3.1. Sorozatok konvergenciája, alapvető tételek 64
3.2. Korlátos sorozatok, monoton sorozatok 71
3.3. Cauchy-sorozatok 76
3.4. Speciális határértékek 78
3.5. Konvergenciasebességek összehasonlítása 81
3.6. Feladatok 83
4. Sorok 89
4.1. Végtelen sorok, konvergenciájuk 89
4.2. Konvergenciakritériumok 92
4.3. Sorok Cauchy-szorzata 101
4.4. Az exponenciális sor és az exponenciális függvény 106
4.5. Feladatok 112
5. Egyváltozós valós függvények 117
5.1. Alapfogalmak 117
5.2. Határérték és folytonosság 119
5.3. Folytonos függvények 122
5.4. Kontrakciók és a Banach-féle fixponttétel 130
5.5. Néhány nevezetes határérték 133
5.6. Elemi függvények 136
5.7. Feladatok 144
6. Differenciálszámítás 155
6.1. Differenciálhányados és derivált 155
6.2. Differenciálási szabályok 165
6.3. Elemi függvények differenciálása 170
6.4. Magasabb rendű differenciálhányadosok 183
6.5. Newton-módszer nemlineáris egyenletek megoldására 185
6.6. A differenciálszámítás középértéktételei 186
6.7. Határértékek kiszámítása, a L'Hospital-szabály 190
6.8. Függvény menetének vizsgálata (függvénydiszkusszió) 194
6.9. Szélsőérték feladatok 212
6.10. Feladatok 215
7. Taylor-sorok 236
7.1. Taylor-polinomok, és Taylor-kifejtés 236
7.2. Taylor- és Maclaurin-sorok, konvergenciájuk 240
7.3. Néhány speciális függvény Maclaurin-sora 242
7.4. Komplex exponenciális függvény, Euler-formula. 247
A komplex számok exponenciális alakja
7.5. Feladatok 249
8. Primitív függvény és Riemann-integrál 255
8.1. A primitív függvény 255
8.2. Alapintegrálok 256
8.3. Integrálás helyettesítéssel 258
8.4. Parciális integrálás 261
8.5. A Riemann-integrál 264
8.6. Az integrálszámítás középértéktétele és a Newton-Leibniz-tétel 267
8.7. Improprius integrál 270
8.8. Racionális függvények integrálása 273
8.9. Néhány irracionális függvény integrálása 277
8.10. Trigonometrikus függvények integrálása 279
8.11. Exponenciális és hiperbolikus függvények integrálása 282
8.12. Síkgörbe ívhossza 283
8.13. Forgástest térfogata 285
8.14. Forgástest palástfelszíne 286
8.15. Feladatok 290

Témakörök