Algebra és az analizis elemei

Tartalom

Előszó 3
Bevezetés 7
I. rész
Összefoglaló áttekintés.
I. algebra műveletei.
Az algebra mennyiségei 9
Az algebra jelei 10
Az algebra műveletei. Értelmezés 11
A műveletek és a számfogalom 14
A műveletek származtatása 14
A számfogalom felépítése 15
A műveletek értelmezésének kibővítése 18
(Összevonás. A hatvány fogalmának általánosítása.)
Algebrai kifejezések 20
A műveletek elvégzésének általános
szabályai 21
A műveleti szabályok további részletkérdései 24
Összevonás 24
Fontosabb szorzat- és hatványalakok 25
Többtagú kifejezés osztása többtagú-
val 26
Törzsszámok, összetett számok 26
Legnagyobb közös osztó. Legkisebb
közös többes 26
(Értelmezés. Meghatározás, stb.)
Többjegyű egészszámok négyzetreemelése 29
(Tizedes törtek négyzetreemelése.) 29
Négyzetgyökvonás többtagú kifejezésből 30
(Egészszámból, tizedes törtből.) 30
Műveletek gyökmennyiségekkel 31
A törtek nevezőinek gyöktelenítése 32
Egészszámok és tizedes törtek 10-es
alapú logaritmusai 33
II. Egyenletek.
Egyenlőség, azonosság, egyenlet 35
Az egyenletek osztályozása 35
Az egyenlet megoldásának alapgondolata 36
Az egyenlőségek átalakításai 36
Arány párok 38
Az egyenletek gyakorlati alkalmazása 39
Az egyenletek megoldása 40
Az elsőfokú, egyismeretlenű egyenlet 40
Kétismeretlenű, elsőfokú egyenletrendszer 40
Behelyettesítési eljárás 41
Az egyenlő együtthatók módszere 41
Determinánsos képletek alkalmazása 42
Másodfokú, egyismeretlenű egyenlet 43
A másodfokú egyenletre vonatkozó
további tudnivalók 44
Irracionális egyenletek 45
Exponenciális egyenletek 45
n-edfokú egyenlet 45
Példák az egyenletek megoldására 45
Elsőfokú, egyismeretlenű egyenlet 46
Elsőfokú kétismeretlenű egyenletrendszer 46
Másodfokú egyismeretlenű egyenlet 47
A másodfokú egyenlet felállítása a
gyökeiből 48
Irracionális egyenlet 49
Exponenciális egyenlet 49
III. Számsorok.
Számtani sor 50
Mértani sor 50
Végtelen mértani sor 51
IV. Kamatos kamatszámítás.
A kamatszámítás fogalmai 52
A kamatos kamatszámítás alapfeladata 52
A felnövekedett tőke meghatározása 52
Betétek 53
Járadékok 53
A betétek és járadékok összefüggése 54
Amortizációs kölcsön 54
Törlesztési terv 55
V. Függvények.
A függvény fogalma 56
Függvények osztályozása 57
A függvények ábrázolása 58
Egyszerűbb függvények ábrázolása 59
Elsőfokú függvények 59
Másodfokú függvények 59
Tört és irracionális függvények ... 60
Trigonometrikus függvények 60
A függvény vizsgálata 62
(Szélső értékek. Többértékű függvények. Folytonosságszakadás.
Zérushelyek. Egyenletek grafikus
megoldása.)
VI. A differenciál- és integrálszámítás elemei.
Végtelen sorok és sorozatok. Határérték 64
Végtelen számsorozatok határértéke 64
Konvergens és divergens sorok 65
Sorozatok közös határértékkel 66
Függvényérték sorozatok 68
A határértékekre vonatkozó alaptételek 69
A differenciálhányados fogalma 69
A differenciálhányados és a függvény
geometriai vizsgálata 72
Egyszerűbb függvények differenciálása 73
Differenciálási szabályok 74
A differeciálhányados fizikai alkalmazása 75
A határozatlan integrál 75
Integrálási szabályok 76
A határozott integrál 77
Területszámítás integrállal 77
Forgástestek köbtartalma 78
A határozott integrál általános értelmezése 78
Fontosabb képletek a II-VI. fejezetekből 81
II. RÉSZ.
Bizonyítások.
I. Műveletek.
A négy alapművelet 83
Összeadás és kivonás pozitív számokkal 84
(Az összeadás általános törvényei.
Egytagúak összeadása és kivonása. összeg és különbség összeadása és kivonása.)
összeadás és kivonás negatív számokkal 85
összevonás 86
(Pozitív, negatív számok, egytagúak, többtagúak, törtek összevonása.)
Szorzás 88
(Általános szabályok. Pozitív, negatív számok, egytagúak, többtagúak, törtek szorzása.)
Osztás 90
(Pozitív, negatív számok, egytagúak, többtagúak, törtek osztása.)
Hatványozás 92
Pozitív és negatív számok hatványozása 92
A hatványozás általános szabályai:
Egyenlő alapú hatványok szorzása 92
Egyenlő alapú hatványok osztása 93
Szorzat hatványozása 93
Tört hatványozása 94
Hatvány hatványozása 94
Többtagúak négyzete 95
Többjegyű számok négyzete 96
Tizedes törtek négyzete 97
Két mennyiség összegének és különbségének szorzata 97
Gyökvonás 97
Szorzat gyöke ... 97
Tört gyöke 98
Hatvány gyöke 99
Gyökvonás gyökből 99
Hatvány gyökének átalakítása .. 100
Többtagúak négyzetgyöke 100
Négyzetgyökvonás többjegyű számokból 101
Irracionális számok 102
Komplex számok 103
A hatványfogalom általánosítása.. 103
A logaritmus 105
Általános szabályok:
Szorzat logaritmusa 105
Tört logaritmusa 106
Hatvány logaritmusa 107
Gyök logaritmusa 107
10-es alapú logaritmus-rendszer ... 108
II. Egyenletek.
Aránypárok átalakításai 110
Egyenletek megoldása 111
A másodfokú egyenlet megoldása .. 111
A másodfokú egyenlet gyökeinek és
együtthatóinak összefüggése 112
A másodfokú egyenlet gyöktényezős
előállítása 113
III. Számsorok.
Számtani sor 115
Mértani sor 116
Végtelen mértani sor 117
IV. Kamatos kamatszámítás.
A felnövekedett tőke meghatározása 121
Előleges kamatozás 123
Betétek 124
Járadékok 125
Betétek és járadékok együttes tárgyalása 126
Amortizációs kölcsön 127
V. A differenciál- és integrálszámítás elemei.
Példák konvergens és divergens sorokra 128
A lim sin h/h határérték meghatározása 130
Példa az iránytangens kiszámítására 132
Egyszerűbb függvények differenciálása:
A hatványfüggvény differenciálása 133
A konstans differenciálása 135
Trigonometrikus függvények differenciálása 136
Általános differenciálási szabályok:
Összeg differenciálása 138
Szorzat differenciálása 138
Tört differenciálása 139
Függvény függvényének differenciálása 140
A görbe alatti terület meghatározása 141
Forgástestek köbtartalma 143
Terület-, felszín- és köbtartalomszámítási példák:
A parabola területe 144
A sinusvonal alatti terület 145
A gömb és részeinek köbtartalma 145
A gömbszelet köbtartalma 145
A gömb köbtartalma 146
A gömbkorong köbtartalma 146
Forgásbeli ellipsziod köbtartalma 147
A kúp köbtartalma 147
Csonka kúp köbtartalma 148
A gömb felszíne 148
A gömbsüveg felszíne 150
VI. A komplex számok.
Műveletek komplex számokkal 151
Összeadás 151
Szorzás 152
Osztás 153
Komplex számok ábrázolása 153
Komplex számok trigonometrikus
alakja 154
Szorzás 156
Osztás 156
Hatványozás 156
Gyökvonás 157
Egységgyökök 158

Témakörök