Algebra

Az algebra alapfogalmai

Szerző

Szerkesztő

Fordító

Budapest

'I. R. Safarevics: Algebra ' összes példány

Kiadó:	Typotex Kiadó
Kiadás helye:	Budapest
Kiadás éve:	2000
Kötés típusa:	Ragasztott papírkötés
Oldalszám:	271 oldal
Sorozatcím:
Kötetszám:
Nyelv:	Magyar
Méret:	24 cm x 17 cm
ISBN:	963-9132-53-5
Megjegyzés:	45 fekete-fehér ábrával.

Értesítőt kérek a kiadóról

A beállítást mentettük,
naponta értesítjük a beérkező friss
kiadványokról

Előszó

Ez a könyv az algebráról kíván áttekintést adni, annak alapfogalmairól és számos ágazatáról. Fölmerül a kérdés, hogy milyen nyelvet használjunk ehhez. Arra a kérdésre, hogy "Mit tanulmányoz a matematika?", az a válasz aligha elfogadható, hogy "struktúrákat" vagy "speciális relációkkal ellátott halmazokat"; a különféle elképzelhető struktúrák és relációkkal ellátott halmazok tömegében ugyanis csak egy nagyon kicsi diszkrét rész tarthat a matematikusok valódi érdeklődésére számot; a kérdés lényege éppen abban rejlik, hogy érteni tudjuk az egyébként alaktalan tömegben elszórtan létező ezen kis töredék különleges jelentőségét. Hasonlóképpen, egy matematikai fogalom jelentése nem korlátozódik a formális meghatározására; ezt a jelentést valójában inkább kifejezheti egy (általában csekély számú) válogatás az alapvető példák közül, melyek a matematikus számára egyaránt szolgálnak motivációként, tényleges definícióként és ugyanakkor a fogalom valódi jelentéseként is.
Talán ugyanilyen nehézségekkel találjuk szembe magunkat, ha egy olyan dolognak kell az általános tulajdonságait jellemeznünk, amely akár a legcsekélyebb mértékben is egyedi. Így például értelmetlen dolog lenne "meghatároznunk" a németeket vagy a franciákat; ehelyett legföljebb a történelmükről vagy az életstílusukról adhatunk számot. Hasonlóképpen lehetetlen definiálnunk egy ember, egy egyént; ehelyett megadhatjuk az útlevelében szereplő adatokat, vagy megkísérelhetjük leírni a külalakját és a jellemét, valamint fölsorolhatunk néhány eseményt az életrajzából. Ezt az utat próbáljuk követni ebben a könyvben is, az algebrára alkalmazva. A könyvben tehát a téma axiomatikus és logikus fölépítését egy leíróbb jellegű anyag kíséri: itt a kulcsfontosságú példák gondos tárgyalását, valamint az algebra és a matematika egyéb ágainak, ill. a többi természettudománynak az érintkezési pontjait tárgyaljuk. Az anyag kiválasztásában természetesen erősen érezhető a szerző személyes véleménye és ízlése.
A könyv olvasóiként elsősorban elsőéves matematika szakos hallgatókra gondolok, valamint elméleti fizikusokra, illetve olyan nem az algebrában dolgozó matematikusokra, akik az algebra jellegéről, annak a matematika egészében elfoglalt helyéről szeretnének képet nyerni. A könyvnek azon részei, melyek az algebra fogalmainak és eredményeinek rendszeres tárgyalását adják, nagyon kevés előismeretet kívánnak meg az olvasótól: csupán a kalkulusban, az analitikus geometriában és a lineáris algebrában való jártasságot feltételezzük, méghozzá többnyire olyan formában, ahogyan azt számos középiskolában, ill. főiskolán tanítják. Nehezebb meghatározni azoknak az előismereteknek a körét, amelyek a példák tárgyalásánál szükségeltetnek; kívánatos a projektív terek, a topologikus terek, a differenciálható és a komplex analitikus sokaságok, valamint a komplex függvénytan ismerete, de az olvasónak nem szabad elfelejtenie, hogy ha egy adott példánál nehézségei támadnak, ez valószínűleg csak lokális természetű, és nem befolyásolja a könyv egyéb részeinek a megértését.
Ez a könyv nem vállalkozik az algebra tanítására; mindössze beszélni próbál róla. Ezt a hiányosságot részben pótolandó, igyekeztem egy részlete bibliográfiát adni; az ezt megelőző megjegyzésekben az olvasó olyan könyvekre találhat utalást, amelyekből a jelen könyvben fölvetett kérdésekről olvashat részletesebben, illetve olyanokra is, melyekben az algebra egyéb területeiről esik szó: olyanokról, melyekről a hely korlátos volta miatt most nem szólhattunk.
A könyv egy előzetes vázlatát a következő személyek nézték át: F. A. Bogomolov, R. V. Gamkrelidze, S. P. Gyemuskin, A. I. Kosztrikin, Ju. I. Manyin, V. V. Nyikulin, A. N. Parsin, M. K. Polivanov, V. L. Popov, A. b. Rojter és A. N. Tyurin; valamennyiüknek hálás vagyok megjegyzéseikért és javaslataikért, melyeket fölhasználtam a könyvben.
Igen hálás vagyok N. I. Safarevicsnek a kézirattal kapcsolatban nyújtott hatalmas segítségéért, valamint számos értékes megjegyzéséért.

Megragadtam az alkalmat, hogy az angol fordításban kijavítsak néhány hibát és pontatlanságot, melyek az eredeti változat kiadásáig észrevétlenek maradtak; nagyon hálás vagyok E. B. Vinbergnek, A. M. Volkonszkijnak és D. Zagiernek, hogy ezekre fölhívták a figyelmemet. Különös köszönet illeti a fordítót, M. Reidet a szövegen eszközölt számtalan javításáért. Vissza

Fülszöveg

Safarevics algebrája az algebra axiomatikus és logikai fejlődése mentén haladva rendkívül széles áttekintést ad az algebráról. Témáiban messze túlmutat a szokásos egyetemi kurzusok anyagán. Maga a szerző is elismeri, hogy ennél többre törekedett, vitaalapot kívánt adni a tudományterület további fejlődéséhez. A rendkívül tömör és pontos megfogalmazású mondanivalót leíró részek - a természettudományok különféle területeiről vett impozáns példák tarkítják. A könyv mindössze az analitikus geometria és a lineáris algebra főiskolai szintű ismeretét feltételezi.

Tartalom

Előszó 8
1. Mi az algebra? 10
A koordinátázás gondolata. Példák: kvantummechanikai szótár, illetve az illeszkedési és párhuzamossági axiómák véges modelljei.
2. Testek 15
Testaxiómák, izomorfizmus. Független változók racionális függvényteste; algebrai síkgörbe függvényteste. A Laurent-sorok és a formális Laurent-sorok teste.
3. Kommutatív gyűrűk 21
Gyűrűaxiómák; nullosztók és integritási tartományok. Hányadostest. Polinomgyűrűk. Egy algebrai síkgörbe polinomfüggvényeinek a gyűrűje. Hatványsorok és formális hatványsorok gyűrűje. Boole-gyűrűk. Gyűrűk direkt összege. Folytonos függvénygyűrűk. Faktorizáció, egyértelmű prímfaktorizációs tartományok, példák.
4. Homomorfizmusok és ideálok 28
Homomorfizmusok, ideálok, faktorgyűrűk. A homomorfizmustétel. Homomorfizmusok megszorítása függvénygyűrűkben. Nullosztómentes főideálgyűrűk; kapcsolatuk az egyértelmű prímfaktorizációs tartományokkal. Ideálok szorzata. Test karakterisztikája. Adott polinom gyökét tartalmazó bővítések. Algebrailag zárt testek. Véges testek. Egy általános gyűrű elemeinek reprezentálása a maximális ideálokon értelmezett függvényként. Az egészek mint függvények. Ultraszorzat és nemsztenderd analízis. Fölcserélhető differenciáloperátorok.
5. Modulusok 38
Direkt összeg és szabad modulusok. Tenzorszorzat. Egy modulus tenzorhatványai, szimmetrikus és külső hatványai, a duális modulus. Ekvivalens ideálok és modulusok izomorfizmusa. Differenciálformák és vektormezők modulusai. Vektorterek és modulusok családjai.
6. A dimenzió algebrai aspektusai 45
Egy modulus rangja. Végesen generált modulusok. Nullosztómentes főideálgyűrű fölötti végesen generált modulusok. Noether-modulusok és -gyűrűk. Noether-gyűrűk és végesen generált gyűrűk. A fokszámozott gyűrűk esete. Bővítés transzcendenciafoka. Véges bővítések.
7. A végtelen kicsi fogalmának algebrai megközelítése 55
Függvények modulo másodrendben végtelenül kis mennyiségek; sokaságok érintőtere. Szinguláris pontok. Vektormezők és elsőrendű differenciáloperátorok. Magasabb rendben végtelen kis mennyiségek. Differenciáloperátorok és jelk. Gyűrűk teljessé tétele, a p-adikus számok. Értékelt testek. A racionális számtest és a racionális függvénytestek értékelései. A p-adikus számok teste a számelméletben.
8. Nemkommutatív gyűrűk 67
Alapfogalmak. Gyűrű fölötti algebrák. Modulus endomorfizmusgyűrűje. Csoportalgebrák. Kvaterniók és ferdetestek. Tvisztorfibrálás. Ferdetest fölötti n-dimenziós vektortér endomorfizmusai. A tenzoralgebra és a nemkommutatív polinomgyűrű. Külső algebra; szuperalgebrák; Clifford-algebra. Egyszerű gyűrűk és algebrák. Ferdetest fölötti vektortér endomorfizmusgyűrűjének bal- és jobbideáljai.
9. Nemkommutatív gyűrűk fölötti modulusok 79
Modulusok és reprezentációk. Algebrák reprezentálása mátrix alakban. Egyszerű modulusok, kompozícióláncok, a Jordan-Hölder-tétel. Gyűrű és modulus hossza. Modulusok endomorfizmusai. A Schur-lemma.
10. Féligegyszerű modulusok és gyűrűk 85
Féligegyszerűség. A csoportalgebra féligegyszerű. Féligegyszerű gyűrűk fölötti modulusok. Véges hosszúságú féligegyszerű gyűrűk, Wedderburn tétele. Véges hosszúságú egyszerű gyűrűk és a projektív geometria alaptétele. Faktorok és folytonos geometriák. Véges rangú féligegyszerű algebrák algebrailag zárt test fölött. Alkalmazások a véges csoportok reprezentációinál.
11. Véges rangú ferdetestek 96
Véges rangú ferdetestek R vagy a véges testek fölött. Tsen tétele és az algebrailag majdnem zárt testek. Véges rangú centrális ferdetestek a p-adikus és a racionális testek fölött.
12. A csoport fogalma 102
Transzformációcsoportok, szimmetriák, automorfizmusok. Egy dinamikai rendszer szimmetriái és a megmaradási törvények. Fizikai törvények szimmetriái. Csoportok, a reguláris hatás. Részcsoportok, normálosztók, faktorcsoportok. Elem rendje. Az ideálok osztálycsoportja. Modulusok bővítéscsoportja. Brauer-csoport. Két csoport direkt szorzata.
13. Példák csoportokra: Véges csoportok 115
A szimmetrikus és az alternáló csoport. Szabályos sokszögek és szabályos poliéderek szimmetriacsoportja. Rácsok szimmetriacsoportja. Kristályosztályok. Tükrözésekkel generált véges csoportok.
14. Példák csoportokra: Diszkrét végtelen csoportok 130
Diszkrét transzformációcsoportok. Kristálycsoportok. A hiperbolikus sík diszkrét mozgáscsoportjai. A moduláris csoport. Szabad csoportok. Csoportok megadása generátorokkal és definiáló relációkkal. Logikai kérdések. A fundamentális csoport. Csomók csoportjai.
15. Példák csoportokra; Lie-csoportok és algebrai csoportok 145
Lie-csoportok. Tóruszok. Liouville tétele.
A. Kompakt Lie-csoportok 148
A klasszikus kompakt csoportok és néhány közöttük fennálló összefüggés.
B. Komplex analitikus Lie-csoportok 152
A klasszikus komplex Lie-csoportok. Néhány további Lie-csoport. A Lorentz-csoport.
C. Algebrai csoportok 155
Algebrai csoportok és az adéle-csoport. Tamagawa-szám.
16. Csoportelméleti eredmények 156
Direkt szorzat. A Wedderburn-Remak-Schmidt-tétel. Kompozícióláncok, a Jordan-Hölder-tétel. Egyszerű csoportok, föloldható csoportok. Kompakt egyszerű Lie-csoportok. Komplex egyszerű Lie-csoportok. A véges egyszerű csoportok és osztályozásuk.
17. Csoportok reprezentációelmélete 165
A. Véges csoportok reprezentációi 168
Reprezentációk. Ortogonalitási relációk.
B. Kompakt Lie-csoportok reprezentációi 172
Kompakt csoportok reprezentációi. A csoporton való integrál létezése. A Helmholtz-Lie-tétel. Kompakt Abel-csoportok karakterei, Fourier-sorok. Weyl- és Riccitenzorok a 4-dimenziós Riemann-geometriában. Az SU{2) és SO(3) csoport reprezentációi. A Zeeman-effektus.
C. Komplex klasszikus Lie-csoportok reprezentációi 180
A nemkompakt Lie-csoportok reprezentációi. A véges dimenziós klasszikus komplex Lie-csoportok reprezentációi teljesen reducibilisek.
18. Csoportok alkalmazásai 182
A. Galois-elmélet 182
Galois-elmélet. Egyenletek megoldása gyökjelékkel.
B. A lineáris differenciálegyenletek Galois-elmélete (Picard-Vessiot-elmélet) 186
C. Az elágazás nélküli fedések osztályozása 187
Az elágazás nélküli fedések osztályozása és a fundamentális csoport.
D. Invariánselmélet 188
Az invariánselmélet első alaptétele.
E. Csoportreprezentációk és az elemi részecskék osztályozása 189
19. Lie algebrák és nemasszociatív algebrák 193
A. Lie-algebrák 193
A Poisson-zárójelek mint Lie-algebrák. Lie-gyűrűk és Lie-algebrák.
B. Lie-elmélet 197
Lie-csoport Lie-algebrája.
C. Lie-algebrák alkalmazásai 202
Lie-csoportok és a merev test mozgása.
D. Más nemasszociatív algebrák 204
A Cayley-számok. A 8-dimenziós tér 6-dimenziós részsokaságainak majdnem komplex struktúrája. Nemasszociatív valós ferdetestek.
20. Kategóriák 207
Diagramok és kategóriák. Az univerzális diagramok. Funktorok. Funktorok a topológiában: hurokterek, szuszpenzió. Csoportobjektumok kategóriákban. Homotópiacsoportok.
21. Homologikus algebra 219
A. A homologikus algebra fogalmainak topológiai gyökerei 219
Komplexusok és homológiáik. Poliéderek homológiája és kohomológiája. Fixponttétel. Differenciálformák és a de Rham-kohomológia; de Rham tétele. A kohomológiacsoportok hosszú egzakt sorozata.
B. Modulusok és csoportok kohomológiája 225
Modulusok kohomológiája. Csoportkohomológia. Diszkrét csoportok kohomológiájának topológiai jelentése.
C. Kévék kohomológiája 231
Kévék, kévék kohomológiája. Végességi tételek. A Riemann-Roch-tétel.
22. K-elmélet 237
A. Topologikus K-elmélet 237
Vektornyalábok és a Vec(X) funktor. Periodicitás és a Kn(X) funktorok. K1(X) és a végtelen dimenziós lineáris csoport. Elliptikus differenciáloperátor szimbóluma. Az indextétel.
B. Algebrai K-elmélet 242
Projektív modulusok osztályainak a csoportja. Gyűrű Ko-, K1- és Kn-csoportja. Test K2-csoportja és ennek kapcsolata a Brauer-csoporttal. K-elmélet és számelmélet.
Megjegyzések az irodalomhoz 247
Irodalomjegyzék 252
Tárgymutató 258
Névmutató 270

Témakörök

I. R. Safarevics

I. R. Safarevics műveinek az Antikvarium.hu-n kapható vagy előjegyezhető listáját itt tekintheti meg: I. R. Safarevics könyvek, művek

Megvásárolható példányok

Nincs megvásárolható példány
A könyv összes megrendelhető példánya elfogyott. Ha kívánja, előjegyezheti a könyvet, és amint a könyv egy újabb példánya elérhető lesz, értesítjük.

Előjegyzem