Algebra

Tartalom

Előszó 8
1. Mi az algebra? 10
A koordinátázás gondolata. Példák: kvantummechanikai szótár, illetve az illeszkedési és párhuzamossági axiómák véges modelljei.
2. Testek 15
Testaxiómák, izomorfizmus. Független változók racionális függvényteste; algebrai
síkgöbe függvényteste. A Laurent-sorok és a formális Laurent-sorok teste.
3. Kommutatív gyűrűk 21
Gyűrűaxiómák; nullosztók és integritási tartományok. Hányadostest. Polinomgyűrűk. Egy algebrai síkgörbe polinomfüggvényeinek a gyűrűje. Hatványsorok és formális hatványsorok gyűrűje. Boole-gyűrűk. Gyűrűk direkt összege. Folytonos függvénygyűrűk. Faktorizáció, egyértelmű prímfaktorizációs tartományok, példák.
4. Homomorfizmusok és ideálok 28
Homomorfizmusok, ideálok, faktorgyűrűk. A homomorfizmustétel. Homomorfizmusok megszorítása függvénygyűrűkben. Nullosztómentes főideálgyűrűk; kapcsolatuk
az egyértelmű prímfaktorizációs tartományokkal. Ideálok szorzata. Test karakterisztikája. Adott polinom gyökét tartalmazó bővítések. Algebrailag zárt testek.
Véges testek. Egy általános gyűrű elemeinek reprezentálása a maximális ideálokon
értelmezett függvényként. Az egészek mint függvények. Ultraszorzat és nemsztenderd analízis. Fölcserélhető differenciáloperátorok.
5. Modulusok 38
Direkt összeg és szabad modulusok. Tenzorszorzat. Egy modulus tenzorhatványai,
szimmetrikus és külső hatványai, a duális modulus. Ekvivalens ideálok és modulusok izomorfizmusa. Differenciálformák és vektormezők modulusai. Vektorterek és
modulusok családjai.
6. A dimenzió algebrai aspektusai 45
Egy modulus rangja. Végesen generált modulusok. Nullosztómentes főideálgyűrű
fölötti végesen generált modulusok. Noether-modulusok és -gyűrűk. Noether-gyűrűk és végesen generált gyűrűk. A fokszámozott gyűrűk esete. Bővítés transzcendenciafoka. Véges bővítések.
7. A végtelen kicsi fogalmának algebrai megközelítése 55
Függvények modulo másodrendben végtelenül kis mennyiségek; sokaságok érintőtere. Szinguláris pontok. Vektormezők és elsőrendű differenciáloperátorok. Magasabb rendben végtelen kis mennyiségek. Differenciáloperátorok és jetek. Gyűrűk
teljessé tétele, a p-adikus számok. Értékelt testek. A racionális számtest és a racionális függvénytestek értékelései. A p-adikus számok teste a számelméletben.
8. Nemkommutatív gyűrűk 67
Alapfogalmak. Gyűrű fölötti algebrák. Modulus endomorfizmusgyűrűje. Csoportalgebrák. Kvaterniók és ferdetestek. Tvisztorfibrálás. Ferdetest fölötti n-dimenziós
vektortér endomorfizmusai. A tenzoralgebra és a nemkommutatív polinomgyűrű.
Külső algebra; szuperalgebrák; Clifford-algebra. Egyszerű gyűrűk és algebrák. Ferdetest fölötti vektortér endomorfizmusgyűrűjének bal- és jobbideáljai.
9. Nemkommutatív gyűrűk fölötti modulusok 79
Modulusok és reprezentációk. Algebrák reprezentálása mátrix alakban. Egyszerű
modulusok, kompozícióláncok, a Jordan-Hölder-tétel. Gyűrű és modulus hossza.
Modulusok endomorfizmusai. A Schur-lemma.
10. Féligegyszerű modulusok és gyűrűk 85
Féligegyszerűség. A csoport algebra féligegyszerű. Féligegyszerű gyűrűk fölötti modulusok. Véges hosszúságú féligegyszerű gyűrűk, Wedderburn tétele. Véges hosszúságú egyszerű gyűrűk és a projektív geometria alaptétele. Faktorok és folytonos
geometriák. Véges rangú féligegyszerű algebrák algebrailag zárt test fölött. Alkalmazások a véges csoportok reprezentációinál.
11. Véges rangú ferdetestek 96
Véges rangú ferdetestek R vagy a véges testek fölött. Tsen tétele és az algebrailag
majdnem zárt testek. Véges rangú centrális ferdetestek a p-adikus és a racionális
testek fölött.
12. A csoport fogalma 102
Transzformációcsoportok, szimmetriák, automorfizmusok. Egy dinamikai rendszer
szimmetriái és a megmaradási törvények. Fizikai törvények szimmetriái. Csoportok,
a reguláris hatás. Részcsoportok, normálosztók, faktorcsoportok. Elem rendje. Az
ideálok osztálycsoportja. Modulusok bővítéscsoportja. Brauer-csoport. Két csoport
direkt szorzata.
13. Példák csoportokra: Véges csoportok 115
A szimmetrikus és az alternáló csoport. Szabályos sokszögek és szabályos poliéderek
szimmetriacsoportja. Rácsok szimmetriacsoportja. Kristályosztályok. Tükrözésekkel generált véges csoportok.
14. Példák csoportokra: Diszkrét végtelen csoportok 130
Diszkrét transzformációcsoportok. Kristálycsoportok. A hiperbolikus sík diszkrét
mozgáscsoportjai. A moduláris csoport. Szabad csoportok. Csoportok megadása
generátorokkal és definiáló relációkkal. Logikai kérdések. A fundamentális csoport.
Csomók csoportjai.
15. Példák csoportokra: Lie-csoportok és algebrai csoportok 145
Lie-csoportok. Tóruszok. Liouville tétele.
A. Kompakt Lie-csoportok 148
A klasszikus kompakt csoportok és néhány közöttük fennálló összefüggés.
B. Komplex analitikus Lie-csoportok 152
A klasszikus komplex Lie-csoportok. Néhány további Lie-csoport. A Lorentz-csoport.
C. Algebrai csoportok 155
Algebrai csoportok és az adéle-csoport. Tamagawa-szám.
16. Csoportelméleti eredmények 156
Direkt szorzat. A Wedderburn-Remak-Schmidt-tétel. Kompozícióláncok, a Jordan-Hölder-tétel. Egyszerű csoportok, föloldható csoportok. Kompakt egyszerű
Lie-csoportok. Komplex egyszerű Lie-csoportok. A véges egyszerű csoportok és osztályozásuk.
17. Csoportok reprezentációelmélete 165
A. Véges csoportok reprezentációi 168
Reprezentációk. Ortogonalitási relációk.
B. Kompakt Lie-csoportok reprezentációi 172
Kompakt csoportok reprezentációi. A csoporton való integrál létezése. A Helmholtz-Lie-tétel. Kompakt Abel-csoportok karakterei, Fourier-sorok. Weyl- és Riccitenzorok a 4-dimenziós Riemann-geometriában. Az SU(2) és SO{3) csoport reprezentációi. A Zeeman-effektus.
C. Komplex klasszikus Lie-csoportok reprezentációi 180
A nemkompakt Lie-csoportok reprezentációi. A véges dimenziós klasszikus komplex
Lie-csoportok reprezentációi teljesen reducibilisek.
18. Csoportok alkalmazásai 182
A. Galois-elmélet 182
Galois-elmélet. Egyenletek megoldása gyökjelékkel.
B. A lineáris differenciálegyenletek Galois-elmélete (Picard-Vessiot-elmélet) 186
C. Az elágazás nélküli fedések osztályozása 187
Az elágazás nélküli fedések osztályozása és a fundamentális csoport.
D. Invariánselmélet 188
Az invariánselmélet első alaptétele.
E. Csoportreprezentációk és az elemi részecskék osztályozása 189
19. Lie algebrák és nemasszociatív algebrák 193
A. Lie-algebrák 193
A Poisson-zárójelek mint Lie-algebrák. Lie-gyűrűk és Lie-algebrák.
B. Lie-elmélet 197
Lie-csoport Lie-algebrája.
C. Lie-algebrák alkalmazásai 202
Lie-csoportok és a merev test mozgása.
D. Más nemasszociatív algebrák 204
A Cayley-számok. A 8-dimenziós tér 6-dimenziós részsokaságainak majdnem komplex struktúrája. Nemasszociatív valós ferdetestek.
20. Kategóriák 207
Diagramok és kategóriák. Az univerzális diagramok. Funktorok. Funktorok a topológiában: hurokterek, szuszpenzió. Csoportobjektumok kategóriákban. Homotópiacsoportok.
21. Homologikus algebra 219
A. A homologikus algebra fogalmainak topológiai gyökerei 219
Komplexusok és homológiáik. Poliéderek homológiája és kohomológiája. Fixponttétel. Differenciálformák és a de Rham-kohomológia; de Rham tétele. A kohomológiacsoportok hosszú egzakt sorozata.
B. Modulusok és csoportok kohomológiája 225
Modulusok kohomológiája. Csoportkohomológia. Diszkrét csoportok kohomológiájának topológiai jelentése.
C. Kévék kohomológiája 231
Kévék, kévék kohomológiája. Végességi tételek. A Riemann-Roch-tétel.
22. K-elmélet 237
A. Topologikus K-elmélet 237
Vektor nyaláb ok és a lSec(X) funktor. Periodicitás és a Kn(X) funktorok. K i(X) és
a végtelen dimenziós lineáris csoport. Elliptikus differenciáloperátor szimbóluma.
Az indextétel.
B. Algebrai K-elmélet 242
Projektív modulusok osztályainak a csoportja. Gyűrű K0-, K1- és Kn- csoportja.
Test K2-csoportja és ennek kapcsolata a Brauer-csoporttal. K-elmélet és számelmélet.
Megjegyzések az irodalomhoz 247
Irodalomjegyzék 252
Tárgymutató 258
Névmutató 270

Témakörök