Matematika

Tartalom

1. A számfogalom felépítése, alapfogalmak és műveletek 9
1.1. Műveletek természetes számokkal 9
1.1.1 A természetes számok 9
1.1.2. Betűvel jelölt számok 9
1.1.3. Az összeadás 10
1.1.4. A szorzás 10
1.1.5. A hatványozás 12
1.1.6. Legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös 13
1.2. Az egész számok 15
1.2.1. A kivonás 15
1.2.2. Az egész számok értelmezése 16
1.3. A racionális számok 18
1.3.1. Az osztás 18
1.3.2. A racionális számok értelmezése 19
1.3.3. Alapazonosságok 21
1.4. Műveletek algebrai kifejezésekkel 28
1.4.1. Algebrai kifejezések 28
1.4.2. Műveletek egytagú algebrai kifejezésekkel 32
1.4.3. Polinomok összege 33
1.4.4. Polinomok szorzata 34
1.4.5. Polinomok hányadosa 36
1.4.6. Polinomok négyzete 37
1.4.7. Nevezetes szorzatok 40
1.4.8. Algebrai kifejezések legnagyobb közös osztója és legkisebb közös többszöröse 42
1.5. Műveletek algebrai törtekkel 44
1.5.1. Algebrai törtek értelmezési tartománya 44
1.5.2. Algebrai törtek egyszerűsítése 45
1.5.3. Algebrai törtek összevonása 46
1.5.4. Algebrai törtek szorzata 48
1.5.5. Algebrai törtek hatványa 48
1.5.6. Algebrai törtek hányadosa 49
1.5.7. Emeletes algebrai törtek átalakítása 50
1.6. Irracionális számok, valós számok 51
1.6.1. A gyökvonás 51
1.6.2. Az irracionális számok 53
1.6.3. A valós számok 54
1.6.4. A gyökökre vonatkozó azonosságok 55
1.6.5. Műveletek gyökös kifejezésekkel 57
1.6.6. A nevező gyöktelenítése 59
1.7. A hatványfogalom általánosítása 60
1.7.1. A 0 kitevőjű hatvány 60
1.7.2. A negatív kitevőjű hatvány 61
1.7.3. A törtkitevőjű hatvány 63
1.7.4. A számok normál alakja 65
1.8. A logaritmus 66
1.8.1. A logaritmus fogalma 66
1.8.2. A logaritmusra vonatkozó azonosságok 67
1.8.3. A 10-es alapú logaritmus 70
1.8.4. Más alapú logaritmusok 76
1.8.5. A logarléc 76
1.9. Feladatok 77
2. Függvények 85
2.1. Halmazelméleti alapfogalmak 85
2.1.1. Fogalmak és jelölések 85
2.1.2. Halmazok leképezése 87
2.2. A függvényekről 89
2.2.1. A függvény fogalma 89
2.2.2. A függvény ábrázolása 95
2.2.3. A függvények osztályozása 98
2.2.4. A függvény-transzformációk 100
2.2.5. A fontosabb függvénytípusok 111
2.2.6. A függvények néhány tulajdonságai 126
3. Egyenletek és egyenlőtlenségek 133
3.1. Egyenletek 133
3.1.1. Az egyenlet fogalma 133
3.1.2. Azonosság 134
3.1.3. Egyenletek átalakítása 135
3.1.4. Elsőfokú egyismeretlenes egyenletek 146
3.1.5. Elsőfokú egyenletrendszerek 151
3.1.6. Másodfokú egyenletek 160
3.1.7. Magasabb fokú egyenletek 170
3.1.8. Négyzetgyökös egyenletek 173
3.1.9. Másodfokú egyenletrendszer 177
3.1.10. Exponenciális és logaritmikus egyenletek 180
3.2. Egyenlőtlenségek 192
3.2.1. Az egyenlőtlenség fogalma 192
3.2.2. Egyenlőtlenségek grafikus megoldása 192
3.2.3. Egyenlőtlenségek algebrai megoldása 194
4. Geometriai alapfogalmak 202
4.1. A geometria tárgya 202
4.2. Térelemek és kölcsönös helyzetük 202
4.2.1. Térelemek 202
4.2.2. Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága és szöge 202
4.3. Mértani helyek síkban és térben 205
4.3.1. A mértani hely fogalma 205
4.3.2. Néhány nevezetes mértani hely 205
4.3.3. Thales tétele, kerületi és középponti szögek tétele 207
4.4. Egybevágósági transzformációk 212
4.4.1.* Geometriai transzformáció 212
4.4.2.* A tengelyes tükrözés 212
4.4.3.* A pontra vonatkozó tükrözés 213
4.4.4.* A pont körüli elforgatás 214
4.4.5.* Az eltolás 214
4.4.6.* Az egybevágóság, háromszögek egybevágósága 215
4.5. A hasonlósági transzformáció 215
4.5.1. Párhuzamos szelők tétele 215
4.5.2. Középpontos hasonlóság 217
4.5.3. Hasonlóság, háromszögek hasonlóságának alapesetei 217
4.5.4. A háromszögek nevezetes vonalai és pontjai 218
4.5.5.* Műveletek vektorokkal 219
4.5.6. Arányos szakaszok derékszögű háromszögben 220
5. Trigonometria 223
5.1. Szögfüggvények értelmezése 223
5.2. Szögfüggvények közötti összefüggések 225
5.3. Pótszögek szögfüggvényei 228
5.4. A 30°; 45° és 60°-os szögek szögfüggvényei 230
5.5. Szögfüggvények alkalmazása geometriai feladatok megoldásában 232
5.6. Szögfüggvények általánosítása 236
5.7. A szögfüggvények ábrázolása 243
5.8. Sinustétel és cosinustétel 247
5.9. Sinus- és cosinustétel alkalmazása geometriai feladatok megoldásában 254
5.10. Összegezési képletek 260
5.11. Trigonometriai azonosságok és egyenletek 264
6. Koordináta-geometria 269
6.1. A pont koordináta-geometriája 269
6.1.1. A helyvektor 269
6.1.2. Két vektor összege, különbsége. Egy vektor -szorosa 271
6.1.3. Két pont távolsága 274
6.1.4. Szakasz felező és harmadoló pontja 275
6.1.5. Háromszög súlypontja 277
6.2. Az egyenes koordináta-geometriája 280
6.2.1. Az egyenes paraméteres vektoregyenlete 281
6.2.2. Az egyenes paraméteres egyenletrendszere 282
6.2.3. Adott ponton átmenő, adott irányvektorú egyenes egyenlete 284
6.2.4. Két ponton átmenő egyenes egyenlete 286
6.2.5. Az egyenes iránytényezős egyenlete 287
6.2.6. Párhuzamos és merőleges egyenesek 289
6.2.7. Két egyenes metszéspontja 291
6.3. A kör koordináta-geometriája 293
6.4. Parabola, ellipszis, hiperbola koordináta-geometriája 296
6.4.1. A parabola egyenlete 296
6.4.2. Az ellipszis egyenlete 298
6.4.3. A hiperbola egyenlete 304
6.5. Koordináta-geometriai feladatok 308
7. Analízis 316
7.1. Sorozatok 316
7.1.1. A számsorozat fogalma 316
7.1.2. Monotonitás és korlátosság 317
7.1.3. A számtani sorozat 320
7.1.4. A mértani sorozat 323
7.1.5. Kamatoskamat-számítás és járadékszámítás 328
7.1.6. Az első n természetes szám négyzetének összege 336
7.1.7. Torlódási pont 337
7.1.8. Konvergencia és határérték 338
7.1.9. Műveletek sorozatokkal 339
7.1.10. A végtelen mértani sor összege 342
7.1.11. Feladatok 349
7.2. Differenciálszámítás 352
7.2.1. A függvény határértéke a végesben 352
7.2.2. A függvény határértéke a végtelenben 357
7.2.3. A függvény folytonossága 359
7.2.4. A különbségi hányados és a differenciálhányados fogalma és gyakorlati jelentése 360
7.2.5. A derivált függvény fogalma 362
7.2.6. Differenciálási szabályok 363
7.2.7. A differenciálható függvények menetének vizsgálata 366
7.2.8. Szélsőértékszámítás 372
7.2.9. Feladatok 375
7.3. Integrálszámítás 379
7.3.1. A határozott integrál fogalma 379
7.3.2. A határozott integrál fontosabb tulajdonságai 385
7.3.3. A primitív függvény 387
7.3.4. Newton-Leibniz formula 389
7.3.5. A határozatlan integrál 391
7.3.6. A határozott integrál alkalmazásai: területszámítás és térfogatszámítás 393
7.3.7. Feladatok 396
8. Síkidomok kerülete és területe, testek felszíne és térfogata 400
8.1. Kerület- és területszámítás 400
8.1.1. Síkidomok kerülete és területe 400
8.1.2. Hasonló síkidomok kerületének és területének aránya 401
8.2. Testek felszíne és térfogata 405
Felhasznált szakirodalom 411

Témakörök