A matematikai fizika differenciálegyenletei

Tartalom

Előszó a magyar kiadáshoz 11
Előszó a második orosz kiadáshoz 13
Előszó az első orosz kiadáshoz 13
I. fejezet
A PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK OSZTÁLYOZÁSA
7. §. A másodrendű parciális differenciálegyenletek osztályozása 15
1. Két független változós differenciálegyenletek 15
2. A több független változós másodrendű egyenletek osztályozása 21
3. Állandó együtthatós lineáris egyenletek kanonikus alakja 24
Feladatok az I. fejezethez 25
II. fejezet
HIPERBOLIKUS EGYENLETEK
7. §. A hiperbolikus differenciálegyenletekre vezető legegyszerűbb problémák.
Peremértékproblémák 27
1. Húr transzverzális rezgéseinek egyenlete 27
2. Pálcák és húrok longitudinális rezgéseinek egyenlete 31
3. Húr rezgéseinek energiája 32
4. Vezetékekben végbemenő' elektromos rezgések egyenletének levezetése 34
5. Membrán transzverzális rezgései 35
6. Hidrodinamikai és akusztikai egyenletek 37
7. Kezdeti és peremfeltételek 41
8. Az általános probléma redukciója 46
9. A peremérték problémák megfogalmazása több változó esetében 47
10. A megoldások egyértelműsége 48
Feladatok 51
2. A haladó hullámok módszere 52
1. DyAlembert formulája 52
2. Fizikai interpretáció 54
3. A megoldások stabilitása 59
4. Félegyenes és a függvényfolytatás módszere 62
5. Véges szakaszra vonatkozó feladatok 68
6. Hullámdiszperzió 72
7. A rezgésegyenlet integrális alakja 77
8. Szakadások terjedése a karakterisztikák mentén 81
Feladatok 82
3. A változók szétválasztásának módszere 85
1. Húr szabad rezgéseinek egyenlete 85
2. A megoldás interpretációja 91
3. Tetszőleges rezgések előállítása állóhullámok szuperpozíciójaként 95
4. Inhomogén egyenletek 99
5. Az általános első peremérték probléma 106
6. Peremértékproblémák stacionárius inhomogenitásokkal 107
7. Kezdeti feltételek nélküli feladatok 108
8. Pontban támadó erő 110
9. A változók szétválasztása módszerének általános sémája 118
Feladatok 124
4. §. Probléma karakterisztikák mentén megadott feltételekkel 126
L A probléma megfogalmazása 126
2. A szukcesszív approximáció módszere 128
Feladatok 133
5. §. Általános hiperbolikus lineáris egyenletek megoldása 134
1. Adjungált differenciáloperátorok 134
2. A megoldás integrálalakja
3. A Riemann-féle függvény fizikai interpretációja 138
4. Állandó együtthatós egyenletek 141
Feladatok a II. fejezethez 146
Kiegészítések a II. fejezethez 147
I. Hangszer húr ok rezgése 147
II. Pálcák rezgése 150
III. Megterhelt húrok rezgései 154
1. A probléma felvetése 154
2. Megterhelt húr sajátrezgései 156
3. Végpontjában terhelt húr 159
4. A sajátértékek korrekciói 160
IV. A gázdinamika egyenletei és a lökéshullámok elmélete 162
1. A gázdinamika egyenletei. Az energia megmaradásának elve 162
2. Lökéshullámok. Dinamikus kompatibilitási feltételek
3. Gyenge szakadások 170
Gázok abszorpciójának dinamikája 174
1. Gázelnyelési folyamatokat leíró egyenletek
2. Aszimptotikus megoldás 178
VL Fizikai analógiák 1&5

III. fejezet
PARABOLIKUS EGYENLETEK
7 .§. A legegyszerűbb parabolikus egyenletre vezető problémák. A peremértékproblémák megfogalmazása 190
1. Lineáris hővezetési probléma
2. A diffúzióegyenlet 194
3. Hőterjedés térben 195
4. A peremértékproblémák megfogalmazása 198
5. A maximumelv 203
6. A megoldás egyértelműsége 206
7. A megoldás egyértelműsége végtelen egyenes esetében 209
2. §. A változók szétválasztásának módszere 210
1. Homogén peremértékprobléma 210
2. A forrásfüggvény 215
3. Peremértékproblémák szakadásos kezdeti feltételekkel 217
4. Inhomogén hővezetési egyenlet 225
5. Az általános első peremertékprobléma 228
Feladatok 230
3. Végtelen egyenesre vonatkozó problémák 232
1. A forrásfüggvény nem korlátos tartomány esetében 232
2. A hőmérséklet eloszlása végtelen egyenesen 240
3. Peremértékproblémák félegyenes esetében 251
4. §. Kezdeti feltételek nélküli problémák 260
Feladatok a III. fejezethez 264
Kiegészítések a III. fejezethez 266
/. Hőmérsékleti hullámok 266
II. A radioaktív bomlás hatása a földkéreg hőmérsékletére 270
III. A hasonlósági módszer a hővezetés elméletében 275
1. A forrásfüggvény végtelen egyenes esetében 275
2. Peremértékproblémák nem lineáris hővezetési egyenlet esetében 278
IV. Az átfagyás problémája 280
V. Az Einstein-Kolmogorov-egyenlet 284
IV. fejezet
ELLIPTIKUS EGYENLETEK
7,§. A Laplace-egyenletre vezető problémák 297
1. Stacionárius termikus tér. A peremértékproblémák megfogalmazása... 297
2. Örvénymentes folyadékáramlás. Stacionárius áram és elektromos tér
potenciálja 298
3. A Laplace-egyenlet görbe vonalú koordinátarendszerben 300
4. A Laplace-egyenlet egyes partikuláris megoldásai 304
5. Harmonikus függvények és komplex változós analitikus függvények... 306
6. Inverzió 308
2. A harmonikus függvények általános tulajdonságai 310
1. Green formulái. A megoldás integrálalakja 310
2. A harmonikus függvények néhány alaptulajdonsága 315
3. Az első peremértékprobléma megoldásának egyértelműsége és stabilitása 319
4. Feladatok szakadásos peremfeltételekkel 320
5. Izolált szinguláris pontok 321
6. Harmonikus függvény regularitása a végtelenben 323
7. Külső peremértékproblémák. A megoldás egyértelműsége két és három
dimenzió esetében 324
8. A második peremértékprobléma. A végtelenben való regularitás feltétele.
A megoldás egyértelműsége 327
3. §. A peremértékproblémák megoldása a legegyszerűbb tartományok esetében a változók szétválasztásának módszerével 330
1. Az első peremértékprobléma kör esetén 331
2. A Poisson-integrál 336
3. Szakadásos peremértékek 339
4. A forrásfüggvény 341
2. Az elektrosztatikus tükrözés módszere és a forrásfüggvény gömb esetében 346
3. A forrásfüggvény kör esetében 349
4. A forrásfüggvény féltér esetében 350
5. Potenciálelmélet 352
1. Térfogati potenciál 352
2. Síkbeli probléma. Logaritmikus potenciái 354
3. Improprius integrálok 357
4. Térfogati potenciál első differenciálhányadosai 363
5. Térfogati potenciál második differenciálhányadosai 367
6. Felületi potenciálok 371
7. Ljapunov felületek és görbék 375
8. Kettős réteg potenciáljának szakadása
9. Egyszerű réteg potenciáljának tulajdonságai 381
10. Felületi potenciálok alkalmazása peremértékproblémák megoldásánál... 385
11. Peremértékproblémáknak megfelelő integrálegyenletek 390
6. Megoldás a differenciaszámítás segítségével 395
1. A differenciaszámítás alkalmazása a Laplace-egyenlet esetében 395
2. A szukcesszív approximációk módszere a differenciaegyenletek megoldásánál I 397
3. Modellezési módszer 400
Feladatok a IV. fejezethez 401
Kiegészítések a IV. fejezethez 403
I. A térfogati potenciál aszimptotikus kifejezése 403
II. Az elektrosztatika problémái 406
III. Az elektromos érckutatás alapfeladata 413
IV. Vektorterek meghatározása 419
V. A konform leképezés módszerének alkalmazása az elektrosztatikában 421
VI. A konform leképezés módszerének alkalmazása a hidrodinamikában 426
VII. A biharmonikus egyenlet 432
1. A megoldás egyértelműsége 433
2. Biharmonikus függvények előállítása harmonikus függvényekkel 434
3. A biharmonikus egyenlet megoldása kör esetében 436
V. fejezet
HULLÁMOK TERJEDÉSE a térben
t. §. Kezdetiérték-probléma. A közepelési módszer 438
1. A közepelési módszer
2. A dimenziószám csökkentésének módszere 441
3. Fizikai interpretáció 443
4. A reflexiós módszer
2; §. Az integrálformula 446
1. Az integrálformula levezetése
2. Az integrálformula következményei 450
/; §. Véges testek rezgései
1. A változók szétválasztásának módszere. Állóhullámok 453
2. Téglalapalakú membrán rezgései
3. Köralakú membrán rezgései 462
Feladatok az V. fejezethez
Kiegészítések az V. fejezethez
I. A rugalmasságtan egyenleteinek visszavezetése rezgésegyenletekre 470
II. Az elektromágneses tér egyenletei 172
1. Az elektromágneses tér egyenletei és a peremfeltételek
2. Az elektromágneses tér potenciáljai
3. Oszcillátor elektromágneses tere 479
VI. fejezet
HŐTERJEDÉS TÉRBEN
7. Hőterjedés végtelen térben 486
1. Hőmérsékleti hatásfüggvény 486
2. Hőterjedés a végtelen térben 491
2. Hőterjedés véges tartományban 495
1. A változók szétválasztásának módszere 495
2. Körhenger lehűlése 499
3. A kritikus méretek meghatározása 502
3. Peremértékproblémák olyan tartományok esetében, melyeknek határa mozog...504
1. A Green-tétel és a forrásfüggvény hővezetési egyenlet esetében 504
2. A peremérték probléma megoldása 508
3. A forrásfüggvény egyenesdarab esetében 510
4. §. Hőpotenciálok 513
1. Egyszerű és kettős réteg hőpotenciáljának tulajdonságai 513
2. A peremértékproblémák megoldása 515
Feladatok a VI. fejezethez 517
Kiegészítések a VI. fejezethez 519
I. Füstfelhő diffúziója 519
II. Szolenoid hengeres vasmagjának demagnetizálódása 522
III. A hővezetési egyenlet megoldása a differenciaszámítás segítségével 527
VII. fejezet
ELLIPTIKUS EGYENLETEK (FOLYTATÁS)
A Av + cv = 0 egyenletre vezető problémák 537
1. Megállapodott rezgések 537
2. Bomlással vagy láncreakcióval egybekötött gázdiffúzió 538
3. Diffúzió mozgó közegben 538
4. Belső peremérték problémák a Av + cv = 0 egyenlet esetében 540
2. §. Pontszerű források hatásfüggvénye 541
1. Pontszerű források hatásfüggvénye 541
2. A megoldás integrálelőállítása 543
3. Potenciálok 547
3. Feladatok nem korlátos tartományban. A kisugárzási elv 550
1. A Av + cv = - / egyenlet megoldása az egész térben 550
2. A határabszorpció elve 552
3. A határamplitudó elve 553
4. A kisugárzási feltételek . 555
4. §. A fényelhajlás matematikai elmélete 560
1. A feladat megfogalmazása 560
2. A fényelhajlási probléma megoldásának egyértelműsége 561
3. Elhajlás gömbön 565
Feladatok a VII. fejezethez 573
Kiegészítések a VII. fejezethez 575
I. Hullámok henger alakú csövekben 575
II. Elektromágneses rezgések üregrezonátorokban 586
1. Hengeralakú üregrezonátor sajátrezgései 587
2. A sajátrezgések elektromágneses energiája 591
3. Rezgések gerjesztése üregrezonátorban 594
III. Skin-effektus 596
IV. A rádióhullámok terjedése a Föld felszíne felett 601
Függelék
SPECIÁLIS FÜGGVÉNYEK
Bevezetés 607
1. A speciális függvények differenciálegyenletei 607
2. A peremértékproblémák megfogalmazása a k(a) = 0 esetben 608
I. rész
HENGERFÜGGVÉNYEK
7. Hengerfüggvények 617
1. Hatványsorok : 618
2. Rekurzív összefüggések 623
3. A feles indexű Bessel-függvények 623
4. A hengerfüggvények aszimptotikus rendje 624
2. A Bessel-egyenlettel kapcsolatos peremértékproblémák 626
3. A hengerfüggvények különféle típusai 632
1. A Hankel-függvények 632
2. A Hankel- és a Neumann-függvények 634
3. Képzetes változós függvények 636
4. A K0(x) függvény 638
4. Integrálelőállítások. Aszimptotikus formulák 642
1. Az egészrendű függvények integrálelőállításai 642
2. Aszimptotikus formulák 647
5. A Fourier-Bessel-integrál és néhány Bessel-függvényeket tartalmazó integrál 651
1. A Fourier-Bessel-integrál 651
2. Néhány, a Bessel-féle függvényeket tartalmazó integrál 653
6. A henger függvények előállítása kontúr integrálokkal 657
1. A hengerfüggvények előállítása kontúrintegrálokkal
2. A nyeregpontmódszer. Aszimptotikus formulák 662
II. rész
GÖMBFÜGGVÉNYEK
1. Legendre-polinomok 667
1. A generátorfüggvény és a Legendre-polinomok 667
2. Rekurzív formula 669
3. A Legendre-egyenlet 670
4. A Legendre-polinomok ortogonalitása 671
5. A Legendre-polinomok normája 673
6. A Legendre-polinomok differenciálalakja 675
7. A Legendre-polinomok integrálalakja és korlátossága 677
8. Az asszociált függvények 679
9. Az asszociált függvények rendszerének zártsága 682
2. Harmonikus polinomok és gömb függvények 684
1. Harmonikus polinomok 684
2. Gömbfüggvények 685
3. A gömbfüggvények rendszerének ortogonalitása 689
4. A gömbfüggvények rendszerének teljessége 692
5. Sorbafejtés gömbfüggvények szerint 693
3. Néhány példa a gömb függvények alkalmazására 697
1. Szigetelő gömb homogén elektromos térben 697
2. Gömb sajátrezgései 700
3. A külső peremértékprobléma gömb esetén
III. rész
A CSEBISEV-HERMITE- ÉS A CSEBISEV-LAGUERRE-FÉLE POLINOMOK
7. A Csebisev-Hermite-féle polinomok 707
2. A Csebisev-Laguerre-féle polinomok 710
3. A Schrödinger-egyenlettel kapcsolatos legegyszerűbb problémák 719
1. A Schrödinger-egyenlet 719
2. Harmonikus oszcillátor 720
3. Rotátor 722
4. Elektron mozgása Coulomb-féle erőtérben 723
A hibaintegrál és néhány hengerfüggvény értékeinek táblázata 728
NÉV- ÉS TÁRGYMUTATÓ 737

Témakörök