A matematika alapjai I/1-2, II/1-2

I. kötet: Halmazelmélet, II. kötet: Matematika logika, a matematika elvi kérdései

Szerző

Kalmár László

Lektor

Bereczky Ilona

Budapest

'Kalmár László: A matematika alapjai I/1-2, II/1-2 ' összes példány

Kiadó:	Tankönyvkiadó Vállalat
Kiadás helye:	Budapest
Kiadás éve:	1974
Kötés típusa:	Ragasztott papírkötés
Oldalszám:	888 oldal
Sorozatcím:
Kötetszám:
Nyelv:	Magyar
Méret:	24 cm x 17 cm
ISBN:
Megjegyzés:	I/1. szám: megjelent 200 példányban, 5 fekete-fehér ábrával. Tankönyvi szám: J 3-200. I/2. szám: megjelent 300 példányban. Tankönyvi szám: J 3-203. II/1. szám: megjelent 450 példányban, 2 fekete-fehér ábrával illusztrálva. II/2. szám: megjelent 450 példányban, 3 fekete-fehér ábrával. Tankönyvi szám: J 3-206.

Értesítőt kérek a kiadóról

A beállítást mentettük,
naponta értesítjük a beérkező friss
kiadványokról

Tartalom

I. KÖTET - 1. füzet
Bevezetés	1
NEM RENDEZETT HALMAZOK (SZÁMOSSÁGOK ELMÉLETE)
Végtelen halmazok összehasonlítása
Egy halmazelméleti probléma	8
Van-e végtelen halmazok között mennyiségi különbség?	8
Kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés	9
Az ekvivalencia definíciója	11
Részhalmaz, valódi részhalmaz	12
Az ekvivalencia tulajdonságai	14
Megszámlálható halmazok
Megszámlálható halmazok, sorozatba rendezés	20
Halmazok össszege, megszámlálható és véges halmazok összege megszámlálható	21
Véges számú megszámlálható halmaz összege megszámlálható	22
Megszámlálhatóan végtelen sok véges halmaz összege, amennyiben végtelen, megszámlálható, a racionális számok halmaza megszámlálható	23
Megszámlálhatóan végtelen sok megszámlálható halmaz összege is megszámlálható	24
Megszámlálható halmazból képezett véges sorozatok halmaza megszámlálható	25
Az algebrai számok halmaza megszámlálható	26
A valós számok megszámlálhatóságának kérdése	27
Kontinuum-számosságú halmazok
A valós számok halmaza nem megszámlálható	28
Az irracionális és a transzcendens számok halmaza nem megszámlálható	30
Kontinuum-számosságú halmazok	30
Ekvivalens halmazok összege is ekvivalens	33
Az eddig megismert halmazok számosságának jelölése	34
A sík pontjainak halmaza kontinuum-számosságú	34
Halmazok szorzata, ekvivalens halmazok szorzata is ekvivalens	36
Megszámlálhatóan végtelen sok dimenziós tér pontjainak halmaza is kontinuum-számosságú	38
A számosságok közötti egyenlőtlenség fogalma
Az egyenlőtlenség definiciója számosságok között	39
A számosságok közötti egyenlőtlenség valóban a számosságok tulajdonsága	40
A számosságok közötti egyenlőtlenség tulajdonságai	41
Az ekvivalencia-tétel bizonyítása	43
A gráf-terminológia	46
A kiindulásul választott kérdés megoldása	48
További vételen számosságokra vonatkozó kérdések	49
A KONTINUUMNÁL NAGYOBB SZÁMOSSÁGOK
Az f és v számosságok
A valós változás, valós értékű függvények halmaza a kontinuumnál nagyobb számosságú halmaz	52
f számosságú halmazok, halmazokból képezett hatvány	53
Az f-nél nagyobb számosságú halmaz	54
Nagyobbb számosságokhoz vezető tételek
Bármely halmaznál van nagyobb számosságú halmaz	55
A hatványhalmaz	57
Számosságok bármely halmazához van olyan számosság, amely a halmazhoz tartozó bármely számosságnál nagyobb	58
MŰVELETEK SZÁMOSSÁGOK KÖZÖTT
Számosságok összeadása
Két számosság összege	60
Az összeadás tulajdonságai	60
A legegyszerűbb számosságok összeadása	62
Számosságok kivonása	64
Számosságok szorzása
Két számosság szorzata	64
A szorzás tulajdonságai	65
A legegyszerűbb számosságok szorzása	67
Számosságok oszthatósága és osztása	69
Számosságok hatványozása
Két számosságból képezett hatvány	69
A hatványozás tulajdonságai	70
A legegyszerűbb számosságok hatványozása	72
A hatványozás inverz műveletei a számosságok körében	75
Műveletek a 0 és 1 számosságokkal	76
EGYENLŐTLENSÉGEK SZÁMOSSÁGOK KÖZÖTT
Az alapműveletek monotonsága
Az összeadás monotonsága	78
A szorzás monotonsága	78
A hatványozás monotonsága	79
A monotonsági tételek következményei	80
Az ekvivalencia-tétel néhány további alkalmazása	82
A Kőnig-féle egyenlőtlenség és alkalmazásai
A Kőnig-féle egyenlőtlenség	83
A Kőnig-féle egyenlőtlenség alkalmazásai	85
RENDEZETT ÉS JÓLRENDEZETT HALMAZOK (RENDTÍPUSOK ÉS RENDSZÁMOK ELMÉLETE)
RENDEZETT HALMAZOK ÉS RENDTÍPUSAIK
Műveletek rendtípusok között
Rendtípusok összeadása	97
A rendtípusok összegének tulajdonságai	99
Rendtípusok szorzása	102
Rendtípusok szorzatának tulajdonságai	105
JÓLRENDEZETT HALMAZOK ÉS RENDSZÁMAIK
A jólrendezett halmaz és a rendszám fogalma
A rendtípusok nem mind alkalmasak egy elem helyének megjelölésére egy rendezett halmazban	110
A jólrendezett halmaz fogalma	110
A rendszám fogalma	113
Műveletek rendszámokkal
Rendszámok összege	114
Rendszámok szorzata	116
A rendszámok közötti egyenlőtlenségek
Az egyenlőtlenség definíciója a rendszámok között	117
A rendszámok közötti egyenlőtlenség tulajdonságai	120
A rendszámok közötti alapműveletekre és egyenlőtlenségre vonatkozó tételek	126
Jólrendezett halmaz elemeinek sorszámozása	129
A rendszámhalmazok jólrendezettsége	131
Bármely rendszámhalmazhoz van olyan rendszám, amely a halmazhoz tartozó bármely rendszámnál nagyobb	132
A transzfinit indukció elve és halmazelmélete alkalmazásai
A transzfinit indukcióval való bizonyítás	138
A transzfinit indukcióval való definíció	139
A rendszámok hatványozásának definíciója	141
Rendszámok sorozatának határértéke, rendszámfüggvény folytonossága	143
Az összeadás és szorzás folytonossága	146
A hatvány folytonossága	148
A hatvány tulajdonságai	149
Végtelen sok rendszám szorzata	151
A második számosztály rendszámai
A második számosztály	154
A második számosztály számainak előállítása 1 ismételt hozzáadása és limeszképzés segítségével	155
Az epszilon-számok	161
A magasabb számosztályok és az alefek
A számosztály általános fogalma	167
A tetszőleges indexű kezdőszámok és alefek létezése	169
A jólrendezett tétel
A jólrendezhetőség problémája	174
A jólrendezési tétel bizonyítása	175
A jólrendezési tétel következményei	177
A jólrendezési tétel és a kontinuumprobléma	178
I. KÖTET - 2. füzet
A HALMAZELMÉLET ALKALMAZÁSAI
PONTHALMAZOK
A nyitott és zárt ponthalmazok
A nyitott ponthalmazok számossága	180
Zárt és perfekt ponthalmazok	181
A perfekt ponthalmazok számossága	182
A zárt ponthalmazok számossága	184
A mértékprobléma és a Borel-féle ponthalmazok
A Borel-féel ponthalmazok definíciója	186
A B-halmazok osztályozása	187
A B-halmazok tulajdonságai	190
Az analitikus és a projektív halmazok	192
A Lebesgue-féle értelemben nem mérhető halmaz létezése	195
A mértékprobléma általánosítása	199
NÉHÁNY ALKALMAZÁS AZ ANALÍZIS KÖRÉBŐL
A Baire-féle függvényosztályok
A képlettel felirható függvények problémája	200
A Baire-féle függvények fogalma	201
A Baire-féle függvények osztályozása	201
A Cauchy-féle függvényegyenlet
A Cauchy-féle függvényegyenlet megoldásának problémája	202
A Cauchy-féle függvényegyenlet folytonos megoldásai	205
A Cauchy-féle függvényegyenlet monoton megoldásai	206
A Cauchy-féle függvényegyenlet általános megoldásának kérdése	207
A valós számok Hamel-féle bázisa	208
A Cauchy-féle függvényegyenlet általános megoldása	211
A Teichmüller-féle lemma	213
EGY ALKALMAZÁS AZ ALGEBRA KÖRÉBŐL
Adott test bővítése algebrailag zárt testté
Az algebrailag zárt bővítés problémája	216
Az algebrailag zárt bővítés létezésének bizonyítása a jólrendezési tétel segítségével	218
A Kuratowski-féle lemma
Az algebrailag zárt bővítés létezésének Zorn-féle bizonyítása	222
A Kuratowski-féle lemma	226
A Kuratowski-féle lemma és a jólrendezési tétel viszonya	228
A HALMAZÁLEMÉLET JELENTŐSÉGE A MATEMATIKÁRA NÉZVE
A matematika halmazelmélete felépítése
Az aritmetika halmazelméleti felépítése	232
Az analízis halmazelméleti felépítése	234
Az algebra és a számelmélet halmazelméleti felépítése	235
A geometria halmazelméleti felépítése	235
A halmazelmélet didaktikai vonatkozásai
A számfogalom kialakítása	236
A függvényfogalom kialakítása	239
A HALMAZELMÉLET ELLENTMONDÁSAI ÉS AZ AZOK KIKÜSZÖBÖLÉSÉRE IRÁNYULÓ TÖREKVÉSEK
A HALMAZELMÉLET ANTINÓMIÁI
A Russel-féle antinómia
Az összes dolgok halmazának antinómiája	242
A nem tartalmazkodó halmazok halmazának antinómiája	242
Az összes halmazok halmazának antinómiája	246
A Russell-féle antinómia egyéb alakjai	248
A Burali-Forti-féle antinómia
Az összes számosságok halmazának antinómiája	249
Az összes rendszámok halmazának antinómiája	250
A Richard-féel antinómia
A legkisebb, bizonyos számú írásjellel nem definiálható természetes szám antinómiája	251
A véges számú jellel nem definiálható valós számok antinómiája	252
A halmazelmélet antinómiáinak magyarázata
Ellenmondások a matematika fejlődésének különböző szakaszaiban	253
A matematikában fellépő ellenmondások magyarázata a dialektikus materializmus alapján	256
A halmazelmélet antinómiáinak magyarázata a dialektikus materializmus alapján	260
A halmazelmélet antinómiái idealista magyarázatának kritikája	264
A HALMAZELMÉLET AXIÓMATIKUS FELÉPÍTÉSE
A halmazelmélet axiómarendszere
A halmazelmélet ellentmondásai kiküszöbölésének programja	269
A halmazelmélet Zermelo-féle axiómarendszere	272
A halmazelmélet felépítésének vázlata a Zermelo-féle axiómarendszer alapján
A rendezett pár fogalmának axiómatikus definíciója	284
Az ekvivalencia axiómatikus elmélete	286
A rendezett halmazok axiómatikus elmélete	288
A rendszámok és a számosságok axiómatikus elmélete	291
A véges és a megszámlálható halmazok axiómatikus elmélete	295
Az axiómatikus halmazelmélet és az antinómiák	298
A halmazelmélet más axiómarendszerei
A Zermelo-Fraenkel-féle axiómarendszer	301
A Neumann-féle axiómarendszer	303
A halmazelmélet axiómarendszereinek kritikája
A kiválasztási axióma körüli viták	309
Az egyenlőtlenség fogalmával kapcsolatos nehézségek	312
A tulajdonság és a függvény fogalmával kapcsolatos nehézségek	314
Az üres halmazból felépíthető halmazokra való szorítkozás kritikája	317
Teljestítik-e a halmazelmélet axiómarendszerei a hozzájuk fűzött reményeket?	319
AZ AXIÓMATIKUS MÓDSZER SZEREPE A MATEMATIKÁBAN ÉS A VELE KAPCSOLATOS KÉRDÉSEK
AZ AXIÓMATIKUS MÓDSZER ALKALMAZÁSA A MATEMATIKA KÜLÖNBÖZŐ FEJEZETEIBEN
A geometria axiómatikus tárgyalása
Az Euklides-féle axiómarendszer	322
A Hilbert-féle axiómarendszer	324
Az aritmetika axiómatikus tárgyalása
A Peano-féle axiómarendszer	327
Az aritmetika Peano-féle felépítése	330
Az axiómatikus módszer alkalmazása a matematika más fejezeteiben
Az axiómatikus módszer alkalmazása az algebrában	336
Az axiómatikus módszer alkalmazása az analízisben	340
Az axiómatikus módszer alkalamazása a valószínűségszámításban	341
AZ AXIÓMATIKUS MÓDSZERREL KAPCSOLATOS KÉRDÉSEK
Az ellentmondástalanság, függetlenség és teljesség követelménye
Az axiómatikus módszer általános fogalmazása	344
Az ellentmodástalanság követelménye	347
A függetlenség követelménye	351
Az axiómák teljességének követelménye	354
Az ellentmondástalanság, függetlenség és teljesség kérdésére vonatkozó régebbi eredmények ideiglenes jellege és továbbfejlesztéséenk szükségessége
A geometria axiómarendszereinek ellentmondástalansága és függetlensége	359
A geometria axiómarendszerének teljessége	360
További ellentmondástalansági és teljesség vizsgálatok szükségessége	360
II. KÖTET - 1. füzet
Bevezetés
A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI
ÍTÉLETKALKULUS
A logikai műveletek
A logikai művelet fogalma	14
A konjunkció	22
A diszjunkció	24
Az implikáció	25
Az ekvivalencia	34
A negáció	40
Az ítéletkalkulus azonosságai
Algebrai jellegű azonosságok	42
A kiszámítás törvényei	48
A tautológia törvényei	51
A negációs azonosságok	53
A de Morgan-féle azonosságok	55
A logikai műveleteknek egymással való kifejezésére vonatkozó azonosságok	59
További nevezetes azonosságok	71
Az ítéletkalkulus kifejezéseinek normál formái
Konjuktív és diszjunktív normálforma	76
Kitüntetett konjuktív és diszjuktív normálforma	84
Az ítéletkalkulus alkalmazása a következmény-fogalom szabatos definíciójára
Ítéletek szerkezete	100
Az ítéletkalkulus következmény-fogalma	102
Az ítéletkalkulus következmény-fogalmának visszavezetése az azonosan kifejezés fogalmára	108
Az ítéletkalkulus néhány nevezetes következtetésmódja	137
A LOGIKAI FÜGGVÉNYKALKULUS
A logikai függvények és kvantorok
Az ítéletkalkulus következmény-fogalmának elégtelensége	129
Logikai függvények	130
Műveletek logikai függvényekkel	135
A kvantorok	137
A függvénykalkulus azonosságai
Kifejezések és formulák	144
A függvénykalkulus legfontosabb azonosságai	146
Azonosságok alkalmazása, a helyettesítés különböző fajtái	154
Prenex normálforma	172
A függvénykalkulus alkalmazása a következmény-fogalom szabatos definíciójára
A matematika axiómatizált fejezeteinek formalizásása	175
Restringált kvantorok	186
Az egyenlőség-reláció, az unicitás formalizálása	190
Néhány axiómarendszer formalizálása	193
A függvénykalkulus következmény-fogalma	211
A függvénykalkulus néhány nevezetes következtetés-módja	228
Az ellentmondástalanság halmazelméleti fogalma	237
A függetlenség halmazelméleti fogalma	243
A teljesség halmazelméleti fogalma	251
Az eldöntésprobléma
Azonosan igaz és kielégíthető formulák	264
Az eldöntésprobléma visszavezetése matematikai függvényeket nem tartalmazó formula esetére	271
Az eldöntésprobléma visszavezetése exisztenciális kvatorokat nem tartalmazó, de matematikai függvényeket tartalmazó formulák kielégíthetőségének kérdésére	276
Az eldöntésprobléma visszavezetése az egyenlőség-relációt nem tartalmazó formula esetére	279
Az eldöntésprobléma megoldása adott számosságú véges individuum-tartomány esetén	283
A Löwenheim-Skolaem-féle tétel	286
Az eldöntésproblémára vonatkozó további vizsgálatok	298
A BIZONYÍTÁSELMÉLET ELEMEI
A Gödel-féle teljességi tétel
A következmény fogalmának a halmazelméleti fogalmaktól való függetlenségének szükségessége	311
A logikai függvénykalkulus axiómatizálása	312
A következmény bizonyításelméleti fogalma
A Gödel-féle teljességi tétel alkalmazása a következmény fogalmának bizonyításelmélet definiciójára	318
A következnény bizonyításelméleti fogalmának alkalmazása matematikai axiómarendszerekre	326
Az ellentmondástalanság, függetlenség és kategroricitás bizonyításelméleti fogalma	331
A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSA AXIÓMARENDSZEREK ELLENTMONDÁSTALANSÁGÁNAK, FÜGGETLENSÉGÉNEK ÉS TELJESSÉGÉNEK VIZSGÁLATA
AZ ELLENTMONDÁSTALANSÁG ÉS A FÜGGETLENSÉG VIZSGÁLATA
A modell-módszer
A modell-módszer alkalmazása a geometriában	333
A modell-módszer általános fogalmazása	337
A modell-módszer további alkalmazásai	345
Axiómarendszerek abszolut ellentmondástalanságának bizonyítására szolgáló módszerek
Abszolut ellentmodástalanság-bizonytás lehetősége	354
Az értékelés-módszer	356
A részértékelés-módszer	366
A kiintegárlás módszere	374
A bizonyítás egyszerűsítésének módszere	381
Az ellentmondástalanság-vizsgálatok jelentősége	390
Axiómarendszerek függetlenségének bizonyításelméleti vizsgálata
A függetlenség kérdésének visszavezetése az ellentmondástalanság kérdésére	400
A függetlenség vizsgálatának módszerei	408
Axiómarendszerek egyszerűsítése	414
A KATEGORICITÁS VIZSGÁLATA
Axiómarendszerek kategoricitására vonatkozó pozitív eredmények
Kategroikus aritmetikai axiómarendszerek	423
Kategorikus algebrai axiómarendszerek	426
Axiómarendszerek kategoricitására vonatkozó negatív eredmények
A Gödel-féle tétel	428
A Gödel-tétel bizonyítása	438
A Gödel-tétel jelentősége	448
A Church-féle tétel	462
Az algoritmus fogalma	467
A Church-tétel bizonyításának vázlata	476
A Church-tétel jelentősége	480
További, algoritmussal megoldhatatlan problémaseregek	486
A MATEMATIKA ELVI KÉRDÉSEI
A matematika tárgya és módszere
A matematika tárgya	492
A matematika módszere	495
A matematikai absztrakció	499
A matematika viszonya a valósághoz és a többi tudományhoz
A matematika és a valóság	505
A matematika és a társadalom	511
A matematika és más tudományok	517
A matematika és a technika	520

Témakörök

Kalmár László

Kalmár László műveinek az Antikvarium.hu-n kapható vagy előjegyezhető listáját itt tekintheti meg: Kalmár László könyvek, művek

Megvásárolható példányok

Nincs megvásárolható példány
A könyv összes megrendelhető példánya elfogyott. Ha kívánja, előjegyezheti a könyvet, és amint a könyv egy újabb példánya elérhető lesz, értesítjük.

Előjegyzem