A katasztrófaelmélet alkalmazása a szerkezetek stabilitásvizsgálatában

Előszó

A potenciális energia állandó értékűségének tétele kimondja: Konzervatív teherrel terhelt rugalmas anyagú testek esetén a geometriailag lehetséges elmozdulások függvényében felírt teljes potenciális energiafüggvénynek egyensúlyi helyzetben stacionárius pontja (vízszintes érintősíkja) van. Hogyan használja a mérnök e tételt, ha az a feladata, hogy megkeresse egy adott szerkezetnek egy adott terhelés esetén létrejövő egyensúlyi helyzetét? Először is a terhelt szerkezet helyett egy idealizált modellt választ. Például a terheletlen szerkezeti elemeket egyenes tengelyűnek, állandó keresztmetszetűnek, homogénnek, pontosan függőlegesnek vagy vízszintesnek tekinti, a terhet is például a teljes elem mentén egyenletesen megoszlónak, vagy egy adott pontban adott irányúnak képzeli. Ezután általában csökkenti a végtelen szabadságfokú szerkezet mozgási szabadságfokát. Ilyen lépés például az, amikor feltételezi, hogy a rúdnak a tengelyre merőleges keresztmetszetei az alakváltozás után is a tengelyre merőlegesek lesznek, vagy amikor az ismeretlen elmozdulásfüggvényt véges számú bázisfüggvény lineáris kombinációjaként keresi. Végül felírja e véges szabadságfokúnak képzelt modell teljes potenciális energiájának függvényét, előállítja ennek a gradiensét (vagyis az egyes elmozdulásparaméterek szerint egyszer deriválja a függvényt), esetleg linearizálja, majd megkeresi a gyökhelyét (azokat az elmozduláskomponenseket, amelyek a gradienst zérussá teszik). A szerkezetet az így kapott elmozduláskomponensek és a belőlük számítható igénybevételek alapján ellenőrzi. Ha a mérnök szerint a szerkezetnél stabilitási problémák is felléphetnek, akkor ezen túlmenően kimutatja, hogy vajon a megtalált stacionárius pont egyúttal lokális minimumpontja is e a függvénynek, hiszen a potenciális energia minimumának tétele szerint ez a stabilis egyensúlyi állapot feltétele . Felmerül a kérdés, hogy mennyire megbízható az így kapott eredmény. A mérnök is tudja, hogy a valóságos szerkezet potenciálfüggvényét csupán megközelítette. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy az őáltala felírt idealizált potenciálfüggvényt a valóságban meglevő tökéletlenségek kissé megzavarják. Vissza