A geometria mai szemmel

Előszó

A geometria a matematika egyik legrégibb ága, amelynek tárgyát a - az utóbbi időkig - a konkrét fizikai tér matematikai modellálása képezte. az empirikus szakaszán már az ókorban túllépő, deduktív tudománnnyá fejlődött geometria hosszú időn keresztül uralkodó szerepet játszott a többi matematikai diszciplína köztöt. A múlt századtól kezdőden, de különösen a jelen században, a geometriából új, önálló matematikai ágak nőttek ki ,mint a lineáris algebra, funcionálanalízis, topológia, diferenciálgeometria, stb. Az a tény, hogy a geometriai tulajdonságok ezen új diszciplínák eszközeivel pontosabban leírhatóvá váltak, sokakban azt a benyomást kelthetik, hogy a geometria a fenti diszciplínákba épült be, illetve ezekben oldódott fel.
Időközben azonban a geometria önállóan is sokat fejlődött, s nemcsak logikai alapjait tisztázta, hanem tárgyát és módszereit is bővítette. A geometria ma már, a konkrét fizikai tér mellett, más, logikailag lehetséges geometriai terek és struktúrák matematikai modellállását is felöleli, s mint ilyen, nem csupán megőrzi önálló matematikai diszciplína jellegét, hanem sajátos módszereivel és lehetőségeivel, éppen a velük való összefonódás miatt, a matematika többi ágát is tovább gazdagítja, s ugyanakkor ez utóbbiak saját eredményeivel maga is egyre teljesebbé válik.
Ebebn a könyvben elsősorban a mai geometria megalapozását érintő kérdésekkel foglalkozunk, a topológia, az algebrai és diffeneciálgeometria problémáit nem tárgyaljuk. Terjedelménél és céljánál fogva e könyv nem térhetet ki még a geometrai alapjaihoz tartozó valamennyi - mai szempontból érdekes - kérdésre sem.
A mai igényeknek megfelelően a geometriának ez a része töbféleképpen is megközelíthető.
Az első, a hagyományos euklideszi tárgyaláshoz legközelebb álló megközelítés a hilberti axiómatizálás gondolatát követi. Vissza