A differenciál- és integrálszámítás elemei II.

Tartalom

INTERPOLÁCIÓS FORMULÁK. ORTOGONÁLIS POLINOM-SOROZATOK.
TRIGONOMETRIKUS POLINOMOK.
I. Lagrange-interpoláció.
387. A LACRANGE-féle interpolációs formula 3
388. §. A NEWTON-féle interpolációs formula. Osztott differenciák 5
389. §. Magasabbrendű differenciák. Aequidistans interpoláció 7
390. §. A SCHWARZ-STIELTJES-tétel 8
391. §. A LACRANGE-féle interpolációs formula maradéktagja 11
II. Simpson-féle közelítő quadratura.
392. §. A Simson-formula harmadfokú polinomra 13
393. §. A parabola-segmentum területe 15
394. §. A maradéktaggal ellátott SIMPSON-formula. Közelítő quadratura 15
395-396. §. Példák 19
III. Hermite-féle interpoláció.
397. §. Az HERMiTE-féle interpolációs polinom létezése. JOHANSEN-formulája 22
398. §. Az m0 = m1 = ... - mv = 2 speciális eset. A harmadfokú polinom egy
tulajdonsága 25
399. §. Az HERMITE-féle interpolációs formula maradéktagja 28
IV. Cscbisev-polinomok.
400. §. A Tn(x) és Un[x) polinomok 30
401. §. Tn(x) logaritmikus deriváltja az x = 1 helyen 32
402. §. A Tn(x) polinom minimum-tulajdonsága 33
403. §. A LAGRANGE-féle interpolációs formula CSEBISEV-abszcisszák esetén 34
404. §. Az U„[x) polinom maximum-tulajdonsága 34
405. §. Racionális polinom átrendezése. Trigonometrikus összegképletek 37
406. §. A Tn(x) és Un(x) polinomok geometriai jellemzése 39
407. §. Weierstrass első approximáció-tételének fejér-féle bizonyítása 41
V. Ortogonális polinom-sorozatok.
408-409. §. Legendre-, Hermite- és laguerre-polinomok 45
410. §. A Csebisev-, a Laguerre- és az hermite-polinomok ortogonalitása 50
411. §. Ortogonális p1 (x), p2 (x), . . . polinom-sorozat előállítása (a, b)-ben 50
412. §. pn(x)-nek a és b között n különböző gyöke van; pn-x (x) gyökei szétválasztják pn(x) gyökeit 53
413. §. p„(x) gyökeinek STIELTJES-féle szétválasztása 54
414. §. Ha (a, b) véges, bármely subintervallumában van gyöke ^„(x)-nek eléggé
nagy n mellett 58
415. §. Gauss-féle közelítő quadratura. Stieltjes tétele 60
VI. Jacobi-polinomok.
416. §. JACOBi-polinomok 61
417. $. A JACOBI-polinomok differenciálegyenlete 65
418. §. A JACOBi-polinomok gyökeinek statikai interpretációja 68
419. §. A LEGENDRE-polinomok geometriai jellemzése 70
420-421. §. A Pn(x) - Pnrt(x) polinom geometriai jellemzése. Gyökcsoportjának
minimum-tulajdonsága 72
VII. Trigonometrikus polinomok.
422. §. Elemi tények 77
423. §. A trigonometrikus polinomok alaptulajdonsága 77
424. §. Aequidistans trigonometrikus interpoláció 78
425-426. §. Interpoláció sinus-, resp. cosinus-polinommal 80
427. §. Trigonometrikus polinom gyökeinek számossága 82
428. §. A LAGRANGÉ-féle interpolációs formula analogonja 85
429. §. Fejér tétele á trigonometrikus polinom magasságáról és mélységéről 86
430. §. A trigonometrikus polinomra vonatkozó BESSEL-feladat 89
431-432. §. Weierstrass második approximáció-tétele; aequivalentiája az elsővel 91
VIII. Bernstein és Markov tétele.
433. §. S. Bernstein tétele trigonometrikus polinom deriváltja abszolút értékének maximumáról 95
434. §. Markov tétele racionális polinom deriváltja abszolút értékének maximumáról 97
HETEDIK FEJEZET.
TRIGONOMETRIKUS SOROK. INTERPOLÁCIÓ- ÉS QUADRATIJRA-SOROZATOK.
A GAMMA-FÜGGVÉNY.
I. Fourier-sorok.
435. §. FOURIER-sor és FOURIER-állandók. Egyenletesen konvergens trigonometrikus sor az összegének FOURIER-sora 99
436. §. Az sn(x) részletösszeget kifejező DIRICHLET-féle integrál; Rikmann
lokalizációs tétele. A LIPSCHITZ-féle konvergencia-kritériumé 102
437. §. sin FOUNIER-sora ctg x és 1/sin2.x parciális törtekre
bontása 106
438. §. GIBBS-féle jelenség 109
439. §. A S -É- sor szeletei 114
440. §. Folytonos függvény divergens FOURIER-sorral (Fejér példája) 117
441. §. Fejér alaptétele és approximáció-tétele. S. BernsTein tétele 119
442. §. Dirichlet tétele 126
443. §. A FOURIER-sor szeleteinek minimum-tulajdonsága 128
444. §. A PARSEVAL-HURWITZ-tétel 130
445. §. A FOURIER-sor tagonkénti integrálhatósága 135
446. §. Dini tétele 136
447. §. Tételek a DARBOUX-féle alsó integrálra vonatkozólag 137
448. §. Arzela-tétele 141
III. Általános trigonometrikus sorok.
449. §. Ha 2 An konvergens, akkor L egyenletesen konvergens. 143
450. §. Riemann alaptétele 145
451. §. Schwarz tétele az általánosított második differenciálhányadosra vonatkozólag 146
452. §. Cantor tétele 148
453. §. Du Bois-Reymond tétele 149
IV. Interpoláció-sorozatok
454. §. Egy segédtétel 153
455. §. Faber tételének FEJÉR-féle bebizonyítása 157
456. §. Szigorúan normális eloszlású és normális eloszlású pontcsoport-sorozat.
Példák 161
457. §. Szigorúan normális eloszlású pontcsoport-sorozatnál
egyenletesen 164
458. §. Grünwald Géza tétele a lépcsőparabolákra vonatkozólag 170
459. §. A lépcsőparabolák határértéke a LEGENDRE-esetben a ± 1 helyeken 171
460. §. A LAGRANGE:parabolák divergenciája a ^ 1 helyeken a LEGENDRE-esetben 173
461. A LAGRANGE-parabolák divergenciája a CSEBISEV-esetben 175
V. Konvergens Langrange-féle interpoláció-sorozatok.
462. §. Lipschitz-félté telnek eleget tevő folytonos függvény megközelítése adott
fokszámú polinommal 178
463. §. Fejér tétele a LAGRANGE-parabolák konvergenciájára vonatkozólag 182
464. §. Normális eloszlású pontcsoport-sorozat az intervallum belsejét mindenütt
sűrűn tölti ki 185
VI. Interpolatorius quadratura-sorozatok.
465. §. Fejér quadraturá-tétele 186
466. §. A (-1, 1) számközre vonatkozólag a Tn(x) polinom gyökeihez tartozó
COTES-féle számok pozitívok 191
467. §. Ugyanaz a tétel az Un(x) polinomra vonatkozólag 193
468. §. Ugyanaz a tétel a Pn(x) + APn~\(x) -f BPn 2(x) polinomra vonatkozólag, midőn A és B bizonyos feltételeknek tesznek eleget. Speciális
esetek 194
469. §. A 465. § tételének megfelelő pontcsoport-sorozat az intervallumot mindenütt sűrűn tölti ki és a COTES-féle számok 0-hoz tartanak 196
470. §. Erdős és Túrán quadratura-tétele 1 197
VII. ctg x parciális törtekre bontásának folyományai.
471. §. A tg x, l/sin x és l/cos x függvények parciális törtekre bontása 204
472. §. Folyományok 205
473. §. sin x és cos x végtelen szorzat alakja 207
474. §. A sor összege az EULER-féle számokkal kifejezve 209
VIII. A gamma-függvény.
475. §. A beta-függvény, mint elsőfajú EULER-féle integrál 211
476. §. A beta-függvény végtelen szorzat alakja 213
477. §. A gamma-függvény, mint másodfajú EULER-féle integrál 215
478. §. A gamma-függvény végtelen szorzat alakja; értelmezése minden x =j= 0,-
- 1, - 2,... helyre. A beta-függvény kifejezése a gamma-függvénnyel 216
479. §. A kiegészítési tétel 220
480. §. A GAUSS-féle szorzási formula 221
481. §. A gamma-függvény diszkussziója 224
482. §. értékek
483. §. integrálalakjai 230
IV
IX. A gamma-függvény logaritmusa.
484. §. log T (1+ x) hatványsora 235
485. § log Tm diszkussziója 238
486. §. A Raabe-féle integrál 240
487. §. log r(x) közelítő meghatározása x nagy értékénél; a Stirling-féle sor.
A GUDERMANN-formula 241
488. §. A H.BOHR-MOLLERUP-tétel 245
489. §. Példák gamma-értékekkel kifejezhető integrálokra 246
NYOLCADIK FEJEZET.
MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET. PARAMÉTERES INTEGRÁL.
I. Másodrendű lineáris differenciálegyenlet.
490. §. Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet alaprendszere 249
491. §. Alaprendszer előállítása egy el nem tűnő megoldásból 251
492-494. §. Példák 252
495. §. Homogén egyenlet középső tagjának eltüntetése 256
496. §. Állandó együtthatós homogén egyenlet összes megoldásai 257
497. §. Csillapított rezgőmozgás 258
498. §. EULKR-féle másodrendű lineáris differenciálegyenlet 262
499. §. Inhomogén egyenlet megoldása az állandók variálásának módszerével 263
500. §. Egyszerű kényszerített rezgés 267
501. §. Ellenállás melletti kényszerített rezgés 268
502. §. Exisztencia-tétel 1 271
II. Parametéres integrál.
503. §. Paraméteres integrál folytonossága; differenciálása í 276
504. §. Paraméteres integrál integrálása. Alkalmazás integrálok kiszámítására . 278
505. §. J. log (1 - 2rcos <P + >2) d<p kiszámítása 281
III. Parametéres improprius integrálok.
506-507. §. Paraméteres improprius integrál egyenletes konvergenciája; folytonossága,
integrálása és differenciálása 283
508. §. Példák paraméter szerinti integrálásra 287
509. §. J sin (.x2) dx é § J cos (x2) dx kiszámítása 287
510. §. Példák paraméter szerinti differenciálásra 289
KILENCEDIK FEJEZET.
TÖBBSZÖRÖS INTEGRÁLOK. TÖBBVÁLTOZÓS DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK.
VONALINTEGRÁLOK.
I. Kettős integrál.
512. §. Kétváltozós függvény DARBOUX-féle alsó és felső integrálja 295
513§. A kettős RIEMANN-integrál; az integrálhatóság feltétele 297
514. §. Az integrál formális tulajdonságai. Középértéktétel 299
515. §. A kettős integrál kiszámítása kétszeri integrálással normál tartomány
esetén 305
516. §. Példa 306
517. §. Síkidom súlypontja 306
518. §. A második Guldin-szabály 308
519. §. Háromszög-lemez súlypontja 309
II. Köbtartalomszámítások.
520. §. Hengerszerű test köbtartalma 311
521. §. Az ellipszoid köbtartalma 313
522. §. Elliptikus paraboloid-szelet köbtartalma 314
523. §. Általános csonka henger köbtartalma 316
III. Hármas integrál.
524. §. A hármas RIFFMANN-integrál; kiszámítása háromszori integrálással normáltartomány esetén 318
525. §. Köb tartalomszámítás egyszeres integrállal 323
526. §. Test súlypontja. A tetraéder súlypontja 325
527. §. Forgási test súlypontja 327
528. §. Példa 329
529. §. Test tehetetlenségi nyomatéka. Forgási test tehetetlenségi nyomatéka a
forgási tengelyre vonatkozólag; gömb tehetetlenségi nyomatéka 330
530. §. Gyűrű tehetetlenségi nyomatéka a forgási tengelyre vonatkozólag 332
531. §. Henger tehetetlenségi nyomatéka a középpontján átmenő és a tengelyére
merőleges egyenesre vonatkozólag 333
IV. Kettős és hármas integrálok lineáris és polár-transformatioja.
532. §. Egymásnak megfelelő területek viszonya lineáris transformatiónál 334
533. §. Kettős integrál lineáris transformatioja 336
534. §. Kettős integrál polár-transformatioja 337
535. §. A VIVIAM-féle test köbtartalma 342
536. §. Példa 343
537. §. Kettős integrál IVORV-féle transformatioja 344
538. §. Hármas integrál polár-transformatiója 345
539. §. Test potenciálja. Gömbhéj potenciálja 348
540. §. Hármas integrál lineáris és IVORY-féle transformatiója. Ellipszoid tehetetlenségi nyomatéka valamely főtengelyére vonatkozólag 350
Y. Differenciálható függvény.
541. §. Differenciálhatóság, z = / y) felület érintősíkja 353
542. Teljes differenciál. Közvetett függvény differenciálása 356.
543. §. Iránymenti differenciálhányados 359
544. -=- 4- -r- transformatioja polárkoordináták bevezetésével. Harmonikus
polinom eleget tesz a síkbeli LAPLACE-egyenletnek 360
545. §. A LAGRANGE-féle középértéktétel n-változós függvényre. Az integrálszámítás alaptételének általánosítása 362
546. §. Homogén függvény; Euler tétele 363
VI. Magasabbrendű differenciálok.
547. §. Younc tétele 364
548. §. Magasabbrendű differenciálok 365
549. §. Az n-változós TAYLOR-formula 366
VII. Kétváltozós vonalintegrálok.
550. §. Kétváltozós folytonos függvény vonalintegrálja 367
551. §. Az integrál formális tulajdonságai; becslési formula 370
552. §. A vonalintegrál kiszámítása 371
553. §. Egy segédtétel 373
554. §. A zárt görbére vonatkozó (P dx + Q dy) =» 0 tétel 374
555. §. Csak az integrációs út kezdő- és végpontjától függő vonalintegrálok 379
556. §. Elsőrendű quadratura kétváltozós függvénynél; a négyszögalakú tartomány esete 381
557. §. Zárt görbére vonatkozó integrál átalakítása kettős integrállá 383
558. §. Zárt görbe által határolt terület kiszámítása vonalintegrállal 385
559. §. A parciális integrálás elve kettős integrálra 386
VIII. Háromváltozós vonalintegrálok.
560. §. Háromváltozós folytonos függvény vonalintegrálja 387
561. §. A zárt görbére vonatkozó (P dx + Q dy + R dz) = 0 tétel 388
562. §. Csak az integrációs üt kezdő- és végpontjától függő vonalintegrálok. Elsőrendű quadratura háromváltozós függvénynél 390
IX. Implicit függvény és függvényrendszer
563. §. Implicit függvény exisztencia-tétele 392
564. §. Implicit függvényrendszer exisztencia-tétele; függvénydetermináns 396
565. §. Inverz függvényrendszer exisztencia-tétele. Paraméteres előállítású felület
érintősíkja 401
X. Feltételes szélsőértékek.
566. §. Feltételes lokális szélsőérték egy feltétellel 405
567. §. Feltételes lokális szélsőérték több feltétellel 406
568-570. §. Példák feltételes abszolút szélsőérték meghatározására 409
571. §. Az HADAMARD-féle determináns-tétel 416
XI. Kettős és hármas Integrálok általános transformációja.
572. § Négyszögalakú tartomány képének területe a függvénydetermináns abszolút értékének integrálja 418
573. §. Az alsó és felső integrál transformatioja, midőn a tartomány négyszögalakúnak képe 422
574. §. A kettős integrál általános transformatioja. A megfelelő tétel hármas
integrálra 425
XII. Mérhető Jelszínű sima felületdarab.
575. §. A felszín definíciója. Csavarfelület-darab felszíne 428
576. §. A VIVIANi-levél felszíne 435
577. §. Derékszögű gömbháromszög felszíne 437
578. §. Más példa gömbfelület-darab felszínére 438
579. §. Schwarz ellenpéldája 441
TIZEDIK FEJEZET.
A KOMPLEX VÁLTOZÓ FÜGGVÉNYEI.
I. Komplex változós egyértékű függvény.
580. Egyértékű függvény; határérték, folytonosság, differenciálhányados.
Az integrálszámítás alaptétele 444
581. §. Az f(a) =}= 0 differenciálhányados geometriai jelentése egyrétű függvénynél 447
582-583. §. A függvények ábrázolása 449
584. §. A differenciálhatóság szükséges és elegendő feltétele; a CAUCHY-RIEMANN-féle relációk. Reguláris függvény 455
II. Az elemi függvények értelmezése komplex változóra.
585. §. Az ez függvény 457
586. §. ez ábrázolása; a természetes logaritmus. Az = lim + pH reláció 459
587. §. Trigonometrikus és hiperbolás függvények 462
588. §. tg z ábrázolása; az arc tg w és arc ctg w függvények 465
589. §. cos z és sin z ábrázolása; az arc sin w és arc cos w függvények 470
590. §. Az a (a =}= 0) hatvány, midőn a és fi komplex 474
III. Komplex változós folytonos függvény integrálja.
591. §. Az integrál kifejezése valós vonalintegrálokkal. Elemi tulajdonságok.
Az integrál kiszámítása; példák 476
592. §. A CAUCHY-féle alaptétel. Folyományok 480
593. §. A CAUCHY-féle formula 482
594. §. Reguláris függvény akarhányszori differenciálhatósága; valós és képzetes része eleget tesz a síkbeli Laplace-egyenletnek 483
595. §. Morera tétele 486
596. §. Határozatlan integrál. Parciális integrálás 488
597. §. A CAUCHY-féle formula gyűrűszerű tartományra 490
IV. Komplex tagú sorok.
598. §. Numerikus sorok 491
599. §. A szummábilis sor konvergenciájának FEJÉR-féle kritériuma 492
600. §. Függvénysorozat és függvénysor egyenletes konvergenciája 493
601. §. Reguláris függvényt előállító függvénysor 495
602. §. Hatványsorok 498
603. §. e% cos z és sin z hatványsora 500
604. §. Az Abel-Stolz-tétel 501
605. §. Frobenius tétele 503
606. §. log (1 + z) és arc tg z hatványsora 505
607. §. A binomiális sor; arc sin z hatványsora 507
V. Taylor- és Laurent-sor. Isolált szinguláris helyek.
608. §. TAYLOR-sorba fejtés. Többszörös 0-helyek 508
609. §. hatványsora; folyományok 510
610. §. Reguláris függvények azonossági tétele; az analitikai folytatás elve 513
611. §. Körgyűrűben reguláris függvény LAURENT-sora 514
612. §. Példák 517
613. §. LAURENT-féle helyhez tartozó LAURENT-sor. Pólus és lényeges szinguláris hely; a Casqrati-WEIERSTRASS-tétel 518
614. §. Egész függvények; Liouville tétele 522
615. §. Az algebra alaptételének bebizonyítása Liouville tétele alapján 523
616. §. A TAYLOR-sor konvergencia-sugarának meghatározása a függvény szinguláris helyeiből 523
VI. A Parseval-formula és a maximum elve.
617. §. A PARSEVAL-formula és a CAUCHY-féle becslési formula 525
618. §. A hatványsor szeleteinek minimum-tulajdonsága 527
619. §. A maximum elve 528
620. §. Egy geometriai alkalmazás 529
621. §. A SCHWARZ-féle lemma 530
622. §. Jensen-féle egyenlőtlenség (Carathéodory és Fejér elemi bizonyítása) 532
623. §. A hatványsor a konvergencia-kör egy pontján divergens lehet akkor is,
ha a kifejtett függvény a zárt körlemezen folytonos (Fejér példája).
Egyenletes szummábilitás a konvergencia-körön 535
624. §. Az / (z) = 2 függvényre vonatkozó képlet 1 539
VII. A Canchy-féle residuum-tétel.
625. §. A residuum-tétel 539
626. §. Alkalmazás a logaritmikus deriváltra 541
627. §. Az algebra alaptételének más bebizonyítása 542
628. §. ctg z parciális törtekre bontása; folyományok 543
629. §. Rouché tétele. Az algebra alaptételének bizonyítása ennek alapján 547
VIII. Valós határozott integrálok kiszámítása a residiuum-tétel alapján.
630. §. / R (sin xt cos x) dx kiszámítása 548
631. §.kiszámítása 551
632. §. / g[x)/h(x) dx kiszámítása, midőn g (x).legalább 2-vel alacsonyabb fokú,
mini h(x) és ennek valós gyökei nincsenek 552
633. §. Az előbbinek megfelelő 556
634-635. kiszámítása 559
IX. Reguláris függvény inverze.
636. §. A LAGRANCE-féle megfordító 564
637. §. A LEGENDRE-polinomok generátor-sora; folyományok 569
638. §. A legendre-polinomok STIELTJES-féle becslése (Fejér bizonyítása) 573
639. §. esetben v-értékű 575
640. §. Egyrétű reguláris függvény létesítette ábrázolásnál a kép területe 576
Fejér tétele a hatványsornak a konvergencia örön való egyenletes konvergenciájára vonatkozólag 576
X. Végtelen szorzatok.
641. §. Végtelen szorzat; a konvergencia definíciója és szükséges feltétele. Egyszerű példák 578
642. §. Í1 (1 + an)és/7 (1-aj az an >0 esetben akkor és csak akkor konvergensek, ha 2 konvergens 580
643. §. Tannery tétele 582
644. §. sin z és cos z végtelen szorzat alakja 585
645. §. A konvergencia szükséges és elegendő feltétele. Abszolút konvergens
. szorzat 588
646. §. Végtelen szorzat pótlása végtelen sorral; folyományok 589
647. §. Reguláris függvényt előállító végtelen szorzat 591
648. .§.. A komplex változó gamma-függvénye 594
Név- és tárgymutató 599

Témakörök