A determinansok alkalmazása

Tartalom

ELSŐ SZAKASZ.
A determinánsok alkalmazása a betüszámtanra és a háromszögtanra.
I. FEJEZET.
A determinánsokban kifejezett betűszám tani egyenletek megoldása.
1. Determinánsban kifejezett elsőfokú betűszámtani egyenlet megoldása 2
2. Másodfokú algebrai egyenlet 2
3. Oly determináns-egyenlet, melynél az átlóban eső tagok ismeretlenek 3
4. Oly determináns-egyenlet, melyben az átló ismeretlenekből áll, s a többi
elem egymással egyenlő 3
5. Determináns-egyenlet, melyben az átlón kivül eső elemek ismeretlenek 4
6. Hatodfokú determináns-egyenlet 5
Gyakorlati példák 6
II. FEJEZET.
A vonalas egyenletek megoldása.
1. §. A különméretü vonalos egyenletek megfejtése.
7. A három ismeretlennel biró különméretü elsőfokú egyenlet megoldása 7
Általános tétel. Gyakorlati föladatok 8
8. Az n ismeretlenneli elsőfokú különméretü egyenlet általános megfejtése 9
9. Az ismeretlenek értékeinek vizsgálat alá vétele 9
10. Azon eset, midőn az egyenlet Delta determinánsa zérussá válik 10
11. Azon eset, midőn a Delta determináns összes n2 aldeterminansa elenyészik 11
12. Oly n ismeretlennel biró n vonalos egyenlet megoldása, melyek közül csupán egy különméretű 11
II. §. Az egyen méretű vonalos egyenletek megoldása.
13. Az elsőfokú n ismeretlenneli n egyenméretű egyenlet megállhatásának
föltétele 12
14. E föltétel közvetlen levezetése 12
15. Az ismeretlenek viszonyának közvetlen kiszámitása 13
III. §. Az ismeretlenek számával nem egyező számban lévő vonalas egyenletek megoldása.
16. Az n-i ismeretlenneli elsőfokú egyenméretű n egyenlet megállhatásának
föltétele 14
17. Az ismeretlenneli elsőfokú különméretü n egyenlet második megfejtési
módszere 14
III. FEJEZET.
A resultansok.
I. §. Két algebrai egyenlet resultansa.
18. A resultans egyenlet meghatározása 16
19. Az elsőfokú egy ismeretlenneli két egyenlet resultansa 16
20. Az egy ismeretlenneli másodfokú két egyenlet resultansa 16
21. Az egy ismeretlenneli bárhányadfokú két egyenlet resultansa 17
22. Azon eset, melyben az egyik v. mindkét egyenlet, végtelen gyököket megenged 18
23. Az R és R, szorzat csupán egy állandó tényezőben tér el egymástól 19
21. A mondottak fölvilágitására szolgáló példák 19
25. Az egy ismeretlenneli kél egyenlet resullansának természete 20
26. A megelőző tétel ellentettje 21
27. Az egy ismeretlennel! két egyenlet resultansának sajátsága 21
II. §. Két algebrai egyenletnél alkalmazható kiküszöbölési módszerek.
28. Euler kiküszöbölési módszere 22
29. Sylvester kiküszöbölést módszere s annak alkalmazása 23
30. Bezout kiküszöbölési módszere 24
31. Cayley kiküszöbölési módszere 25
32. Gauchy kiküszöbölési módszere 25
33. E módszer általánosítása, midőn mindkét egyenlet m-ed fokú 26
34. Különfokú két egyenlet resultansának megállapítása 27
35. Gauchy módszerének általánosítása, midőn az egyik egyenlet m-ed s a másik n-ed fokú 28
36. Cayley módszere Joubert által módosítva 29
37. Első eset: a két egyenlet ugyanazon fokú 29
38. A resultans symetrikus determináns 31
39. A resultans egyes elemeinek kiszámítása 31
40. Két harmadfokú egyenlet resultansának kiszámítása 33
41. Második eset, midőn a két egyenlet különfokú 33
42. Alkalmazás két egyenletre, melyek egyike harmad- s a másik másodfokú 35
III. §. Két egyenlet közös gyökeinek kiszámítása.
43. Mindkét egyenlet másodfokú 35
44. A két egyenlet egyike harmad-, másika másodfokú 36
45. Mindkét egyenlet harmadfokú 36
46. Mindkét egyenletnek két közös gyöke van 37
47. Mindkét egyenlet m-ed fokú; a módszer általánosítása 37
48. E módszer alkalmazása két negyedfokú egyenletnél 38
IV. §. Az egyenlet két azonos gyökeinek kiszámítása.
49. Alkalmazása a harmadfokú egyenletnél 39
V. §. A harmadfokú egyenlet megoldása.
50. A harmadfokú egyenlet megoldása három különböző elemű harmadrendű
symetrikus determináns segélyével 41
51. Némely n-edrendü determináns n tényezőre bontása 42
VI. §. Az egyenlet gyökeinek különbségei.
52. n-mennyiség különbségeinek szorzata 44
53. Az algebrai egyenlet gyökeinek négyzeteiből származott különbségek szorzata 44
54. A harmadfokú egyenlet gyökeinek négyzetéből származott különbségek szorzata 45
VII. §. Két ismeretlennel biró kél egyenlet megoldása.
54. Az ismeretlen x kiküszöbölése ezen két fix, y) = 0, és <f (x, y) = egyenletből, melyek közöl az első m-ed- s a másik n-edfokú 45
55. Az egyenlet y-ra nézve legfeljebb mn-edfokú 46
56. A fölvett f(x, y) =0, v (x, y) = 0 két egyenlet megoldása 47
IV. FEJEZET.
A determinánsok alkalmazása a háromszögtanra.
57. Háromszög három szögének cosinusai közt létező viszony 48
58. Ama föltétel, melynél fogva az egy pontból kiinduló három sugár egy síkba essék 48
59. Az előbbi tétel megforditotta 49
60. A három kört érintő körnek sugara 50
61. A háromszög három oldala s az egyiknek átellenes szög közötti viszony determinánsban kifejezve 51
62. Szögmértani determináns egyenlet megfejtése 52
63. Oly szögmértani egyenlőség igazolása, melynek egyik oldala determináns 52
64. Determináns értékének kimutatása 53
65. Ugyanazon szörmértani determináns más alakú értéke 53
66. Ugyanazon determináns harmadrendűvé tétele 54
MÁSODIK SZAKASZ.
A determinánsok alkalmazása az elemző mértanra.
I. FEJEZET.
A determinánsuk alkalmazása az elemző mértanra a síkban.
I. §. Az egyenes fekvése a síkban.
67. A pont távolsága az egyeneshez 55
68. Két egyenes által bezárt szög meghatározása az egyeneseknek a szegvénygelyekre vett elhajlásaiból 57
69. Egyenleteik által adott két egyenes közé zárt szög meghatározása 58
70. Két egyenes merőlegességének föltétele 58
71. Két adott ponton keresztül haladó egyenes egyenlete 59
72. Két adott ponton áthaladó egyenesbe eső pontok szegvényeinek általános értékei 59
73. Ama föltétel, melynél fogva három egyenes egy pontban találkozzék 60
II. §. A kör a síkban
74. A kör egyenlete származékai és sugara által determináns alakjában kifejezve 60
75. A megelőző egyenlet mértani értelmezése 61
76. A három adott ponton keresztül haladó kör egyenlete 61
77. A kör kerületébe eső négy pont kölcsönös távolságainak viszonya egymáshoz 62
III. §. A másodrendű görbék.
78. A kerülék és mentelék egyenlete determináns alakjában 63
79. A másodfokú egyenméretű függvények sajátságai 64
80. A másodrendű görbék tengelyeinek hoszsza 65
81. A másodrendű görbék tengelyeinek hoszsza 65
82. Ama föltétel, melynél fogva az általános másodfokú egyenlet két egyenest képvisel 66
II. FEJEZET.
A sokszögek területe.
I. §. A háromszög területe többfélekép kifejezve determinánsok által.
83. A háromszög területe determináns alakban, midőn adva van három oldala 68
84. A háromszög területének uj alakja 69
85. A háromszög területének más alakja s az őt körülíró kör sugara 69
86. A háromszög területe determináns alakban az előbbi képletből 70
87. A megelőző determináns tényezőkre bontása 70
88. A háromszög területe a csúcspontok szegvényeiből oly szegvényrendszerben, melynek kezdőpontja a háromszög egyik csúcsával egybeesik 71
89. A háromszög területe három csúcspontjának szegvényeiből determináns
alakban 72
90. Ugyanezen tétel levezetésének második módja 72
91. Joachimsthal módszere a háromszög területének kiszámításánál, midőn
adva van az azt bezáró három egyenes egyenlete 73
92. Két háromszög területének szorzata, midőn adva vannak a háromszögek
csúcspontjainak kölcsönös távolságai 74
II. §. A másodrendű görbékbe irt háromszögek területe.
93. A hajtalékba irt háromszög területe 76
94. A hajtalék három érintője által keletkezett háromszög területe 77
95. A kerülékbe irt háromszög területe 78
III. §. A négyszög területe determináns alakban kifejezve.
96. A négyszög területe determináns alakban csúcsainak szegvényeiből 80
97. E fölület képletének más alakja 80
98. Bármily négyszög területének kiszámítása, ha adva vannak oldalai és átlói 81
99. A körbe irható négyszög területének kiszámítása oldalainak adatával 81
100. A hajtalékba irt négyszög területe 82
IV. §. Bármely sokszög területe.
101. A sokszög területének kiszámítása csúcsai szegvényeiből 83
III. FEJEZET.
Az egyenes és a sík.
I. §. Az egyenes iránya a térben
102. Az egy pontból kiinduló négy egyenes kölcsönös elhajlásának viszonya a
térben 84
103. Az egyenes s a három szegvénytengely által képezett szögek kölcsönös
viszonyai 85
104. A háromlap sinusa 86
105. A háromlap sinusának mértani értelmezése 87
106. A háromlap sinusa kifejtve egy oldalából s az átellenes él elhajlásából 88
107. A háromlap sinusa kifejtve két oldalából s az általuk bezárt lapszögből 88
108. A kiegészítő háromlap sinusa 89
109. A kiegészítő háromlap sinusának más alakja 89
110. A háromlap sinusa s a kiegészítő háromlap sinusa között létező viszony 90
111. A háromlap sinusának kifejtése, midőn három oldala ismeretes 90
112. Egy oldal s az átellenes lapszög sinusainak viszonya egymáshoz 90
113. E viszony különféle alakja 90
114. A szegvényrendszer két tengelyének síkjára merőleges egyenesnek elhajlásai harmadik tengelytől 91
115. Két egyenes elhajlásának kiszámítása a szegvényrendszer tengelyeire vett
elhajlásaiból
116. Az adott egyenes s a szegvénysíkok által képezett szögek 92
117. A szög tangense, ha az egyenes elhajlása a három tengelytől egyenlő 93
118. A szög tangense, ha az egyenes a három szegvénysíktól egyenlőkép elhajlik 94
II. §. Az egyenesek és síkok átmetszése.
119. Két egyenes találkozásának föltétele 94
120. Az egyenes és a sík átmetszése 95
121. A három sík találkozása 96
III. §. Az adott több síkot feltüntető egyenletek kapcsolata
122. Négy sík egyenletének bal oldalai s determinánsa között lévő viszony 97
123. Három sík egyenletének bal oldalai s determinánsa között létező viszony 98
124. Ha P=0, P'=0, P''=0 három sik egymást csupán egy egyenesben metszi, akkor helyes az egyenlet lambdaP+lambda'P'+lambda''P''=0 98
125. Ama föltétel, melynél fogva négy sík egymást egy pontban messe 99
126. Ha P=0, P'=0, P'''=0 négy sík egy pontban találkozik, akkor egyúttal helyes ezen egyenlet lambdaP+lambda'P'+lambda''P''+lambda'''P'''= 0 99
IV. §. Az adott pontokon és egyeneseken áthaladó síkok.
127. A három adott ponton áthaladó sík egyenlete 99
128. A két párhuzamos egyenesen átvonuló sík egyenlete 100
129. A két összefutó egyenesen átvonuló sík egyenlete 100
V. Párhuzamos egyenesek és síkok.
130. Ama föltétel, melynél fogva három egyenes párhuzamos legyen egyazon
síkhoz 101
131. Ama föltétel, melynél fogva három sík ugyanazon egyenessel párhuzamos 101
132. A két egyenessel a kezdőponton keresztül párhuzamosan vonuló sík 102
133. Az egyik egyenesen keresztül s a másikkal párhuzamosan vonuló sík 102
134. E sík egyenletének többféle alakja 103.
135. Ezen egyenlet más alakja 103
136. E képletek közöl kettőnek összehasonlítása 104
137. Még egy módszer, mely által ugyanazon eredményhez jutunk 104
VI. §. Merőleges egyenesek és síkok.
138. A pont és a sík merőlegessének föltétele 104
VII. §. A pont távolsága a siklói s a legrövidebb távolság két egyenes között.
139. A pont távolsága a síktól 106
140. A pont távolsága az összendezői síkok egyikétől 108
141. Azon egyenes egyenlete, melynek minden egyes pontja a szegvénysíkoktól
egyenlő távolságra esik 108
142. Az egyenletek által adott két egyenes közé zárt szög 108
143. Két sík merőlegességének föltétele. 109
144. Két egyenes legrövidebb távolsága egymáshoz 110
VIII. §. Lagrange tantéte és annak alkalmazása a távolságok
kiszámításánál a tér tanban.
145. Lagrange tantételének levezetése 111
146. Kermite módszere a Lagrange tételének alkalmazásánál 112
147. A változó x azon értéke, melynél fogva (ax+a'y+a")^2+(bx+b'y+b")^2+(cx+c'y+c")^2 összeg a legkisebb értéket éri el 113
148. A három viszony közös értéke, mely az előbbi kérdésnek megfelel 114
149. Az (x', y', z', pont távolsága az x=az+p, y=bz+q egyeneshez 114
150. Az (x', y', z') pont távolsága az ax+by+cz-d 0 síkhoz 114
151. Két egyenesnek legrövidebb távolságának kiszámítása 115
IV. FEJEZET.
A négylap.
I. §. A négy lap sajátságai.
152. Egyes észrevételek 117
153. A négylap első sajátsága 118
154. E sajátság következménye 118
155. A négylap második sajátsága 118
156. E tulajdonságnak következménye 119
157. A négylap harmadik sajátsága 119
158. A négylap lapszögei közt létező viszony 119
159. A négylap negyedik sajátsága 118
160. A négylap ötödik sajátsága 120
161. A négylap négyzeteinek összege az átellenes élek s az általuk bezárt
szögek sinusaiban kifejtve 121
II. A négylap térfogata többfélekép kifejtve.
162. A négylap térfogatának kifejtése az összefutó három élből s az ezen
három él által keletkezett háromlap sinusából 122
163. A négylap térfogata az egybefutó három él-s azok kölcsönös elhajlásából 123
164. A négylap térfogata a hat él állal kifejezve 123
165. A négylap térfogata determináns alakban a hat él által 123
166. A négylap alapjának területe a három oldalél-s azok kölcsönös elhatlásából kifejtve 124
167. A három összrendezői síknak valamely sík átmetszése által keletkezett
háromszög területe 125
168. A háromszög területének kifejtése a térben három csúcsának szegvényeiböl 125
169. A négylap térfogata, ha adva van két átellenes él, az általuk bezárt szög
s a közöttük létező legrövidebb távolság 128
170. A két átellenes él legrövidebb távolsága s az ezen élek által zárt szög
között létező viszony; valamint a négylap térfogata a hat élből s két
átellenes él legrövidebb távolából 128
171. A négylap térfogata a három lapból s az ezek által zárt háromlap kiegészítőjének sinusából 128
172. A négylap térfogata két lapból s az általuk zárt lapszögből 129
173. Az átellenes élek szorzatainak viszonya 129
174. A négylap térfogata, ha adva van egy lapja s ennek elhajlása a többi
három lapból 129
175. Az oly négylap térfogata, melynek egyik csúcspontja az szegvényrendszer
kezdőpontjával esik egybe, a többi csúcspontok szegvényeiből 130
176. A négylap térfogata a csúcspontok szegvényeiből 130
177. E képlet levezetésének más módja 131
178. Ugyanazon képlet átalakítása 132
179. A négylap térfogata, midőn adva van az öt bezáró négy sík egyenlete. 132
180. Két négylap térfogatának szorzata, midőn ismeretesek a két négylap csúcspontjainak kölcsönös távolságai egymáshoz 134
111. §. A négyaljat körülvevő gömb sugarának többféle kifejtése.
181. A négylapot körülíró gömb sugara determináns alakban kifejtve három
összefutó élből s azok kölcsönös elhajlásából 136
182. Ugyanazon gömb sugara a négylap hat éle által meghatározva 137
183. Ugyanaz kifejtve a két-két átellenes élek szorzatából 137
181. Ugyanazon determináns egyenes levezetése 138
IV. §. A négylapba beirt gömbnek sugara.
185. A négylap négy oldalsíkját érintő két gömbnek sugarai 139
186.A többi hat érintő gömb sugarai 140
V. §. Az élekkel körülírható négylap.
187. E négylap éleinek viszonya egymáshoz 140
188. Az egyik csúcs szögeinek cosinusa 140
189. A négylap térfogata 141
190. A négylap hat élét érintő gömb sugara 141
191. Az átellenes élek elhajtása 141
192. Azon gömb, mely három egybefutó élet belül s a többit kivül érinti 142
193. A szabályos négylap 142
VI. §. Oly négylap, melyben az átellenes élek elhajlása derékszög.
194. E négylap első sajátsága 142
195. A négylap második sajátsága 143
196. A háromlap élei s az ezen éleken nyugvó lapszögek között létező viszony 143
197. A négylap harmadik sajátsága 143
198. A négylap negyedik sajátsága 143
199. A négylap térfogata 144
V. FEJEZET.
A másodrendű felületek.
I. §. A gömb.
200. A gömb egyenlete determináns alakban származékaiból és sugarából 145
201. A négy adott ponton átvonuló gömb egyenlete 146
202. A gömb felületén létező öt pont kölcsönös távolságainak viszonya 146
II. §. Központtal biró másodrendű felületek.
203. A körülékded egyenletének értelmezése 148
204. Ezen egyenlet determináns alakja 149
205. A másodrendű felületek tengelyeinek egyenlete 149
206. A másodrendű felületek tengelyeinek nagysága 150
207. A másodrendű felületek tengelyeinek egyenlete és hoszsza a derékszögű
szegvényrendszerre nézve 151
208. A harmadfokú egyenlet gyökeinek való értékei S-re nézve 151
NEGYEDIK SZAKASZ.
A discriminansok és az invariansok.
I. FEJEZET.
A discriminansok.
I. §. A discriminansok értelmezése és kiszámítása.
209. A függvény discriminansának értelmezése s a másodfokú függvény discriminansának kifejtése 154
210. A három és négy változót tartalmazó másodfokú függvények discriminansai 155
211. A két változót tartalmazó harmadfokú függvény disriminansa 156
212. A két változót magában foglaló negyedfokú függvény discriminansa 156
II. §. A discriminansok alkalmazása a másodfokú görbe vonalaknál.
213. Ama föltétel, melynél fogva két változót tartalmazó függvény két egymást
metsző egyenes képviselője 157
214. A föltétel, mely alatt a másodfokú egyenlet két párhuzamost képvisel 158
215. A föltétel, mely alatt az egyenes a kúpszelet érintőjévé válik 158
216. E föltétel elemző mértani értelmezése 159
217. A föltétel, melynél fogva a másodrendű görbe az egyik szegvénytengelyt
érinti 159
218. Ama föltétel, mely szerint két egyenes átmetszése a kúpszelet kerületébe 161
219. A másodrendű görbén kivül eső pontból vont érintők egyenlete 162
220. Azon érintők egyenlete, melyek a görbe vonal s egy adott egyenes átmetszési pontjaihoz vonhatók 163
III. §. A másodrendű felület érintő síkja.
221. Ama föltétel, mely alatt a Sík a másodrendű felületet érinti 164
222. Ama föltétel, melynél fogva az egyenes a másodrendű felület érintője 165
223. A szegvénytengelyeket érintő másodrendű felületnek általános egyenlete 166
224. Ama föltétel, mely alatt három sík átmetszése a másodrendű felületbe esik 167
IV. §. A másodrendű felületek által körülirt kúpok.
225. Ama föltétel, melynél fogva valamely felület kúpszeletté válik 168
226. Ama föltétel, mely alatt a másodfokú általános egyenlet valamely kúp
képviselője 169
227. Valamely ponthói kiinduló s a másodrendű felület által zárt kúp egyenlete 169
228. Azon másodrendű felület által zárt kúp egyenlete, mely ezen felületet egy
adott sík átmetszése irányában érinti 170
II. FEJEZET.
Az invariansok.
I. §. A vonalas átalakítások.
229. Két változót tartalmazó másodfokú függvény vonalas átalakítása 172
230. A vonalos átalakítás értelmezése 172
231. Az átalakított függvény discriminansának értéke 173
II. §. A z invariansok.
232. Az invariansok értelmezése 173
233. A discriminansok és invariannsok egybevetése 174
234. A másodrendű görbék invariansai 176
235. Ezen invariansok mértani értelmezése 177
236. A két változót tartalmazó másodrendű függvények invariansai a megfelelő kúpszelet tengelyeinek kiszámításával 177
237. A három változót magában foglaló másodrendű függvények invariansai
a megfelelő felület tengelyeinek meghatározása által 178

Témakörök