1-től 100.000-ig terjedő számok hétjegyü logarithmusai és táblák a politikai számtanhoz/Előadások a mathematika elemeiből/Fejezetek az algebrából

Tartalom

Bogyó Samu - Havas Miksa: 1-től 100.000-ig terjedő számok hétjegyü logarithmusai és táblák a politikai számtanhoz - E könyv jelen első kiadásában, a 3128/1898. sz. min. rendelettel felső kereskedelmi iskolák számára tankönyvül engedélyeztetett 1-227

Dr. Grosschmid Lajos: Előadások a mathematika elemeiből
A természetes számok oszthatósági viszonyai.
1. §. Alapvető tények 7-8
1. Egészszámokból álló halmazok három alaptulajdonsága. - 2. Az oszthatóság és alaptulajdonságai. - 3. Valódi,
nem-valódi, kiegészítő osztó.
2. §. Legkisebb közös többszörös és legnagyobb közös osztó 9-14
1. A számelmélet alapténye. - 2. A főtöbbes és alaptulajdonságai. - 3. A főosztó és alaptulajdonságai. - 4. Két alapösszefüggés. - Megjegyzés.
3. §. A főtöbbes és főosztó correlatiói 15-19
1. Két reciprok-kapcsolat. - 2. A distributiv tulajdonság. - 3. Két nevezetes tétel.
4. §. Megjegyzések 19-21
1. A reciprok-kapcsolatok összefüggése. - 2. A reciprokrelatiók újabb származtatása.
5. Az Euklides-féle algorithmus 21-22
6. §. Relatíve prímszámok 22-25
1. Definitio; alaptételek. - 2. A páronkénti relatívprimitás criteriuma. - 3. Egy nevezetes összefüggés.
7. §. A prímszámok 25-30
1. Prímszám és összetett szám. - 2. Végtelen sok prímszám van. A legkisebb valódi osztó prímszám. - 3. Prímszámok kölcsönös távolsága. - 4. A két alaptétel - 5. Egy
fundamentális tény.
8. §. Osztók száma, osztók összege 30
MÁSODIK FEJEZET.
Lineáris Diophantus-egyenletek.
9. §. Bevezető észrevételek 31-34
1. A feladat jellemzése. - 2. A megoldhatóság criteriuma. - 3. Történelmi észrevételek.
10. §. Az ax+by = c egyenlet 34-38
1. Az egyenlet kanonizálása. - 2. A megoldások összefüggése. - 3. Egyetlen megoldást adó eljárás.
11. §. Digressio a lánctörtek elméletére 38-47
1. A lánctört értelmezése. - 2. Alaptételek. - S. A közelítő' törtek. - *4. A közelítések nagyság-sorrendje.
12. §. Az alapfeladat megoldása 47-49
1. Az alapmegoldás kifejezése. - 2. Az eredmény egyszerűsítése.
13. §. Positiv megoldások 49-50
14. §. Az au+bv = c egyenlet positiv megoldásai 50-52
1. A parameter elhatárolása. - 2. A positiv megoldások száma.
15. §. További részletezés 52-54
1. Az eredmény formulázása. - 2. Egy észrevétel.
16. §. A kivételes esetek 54-55
17. §. Példa 55-56
18. §. Az a1x1+a2x2+a3x3 = c egyenlet 56-63
1. A feladat kitűzése. - 2. Az általános megoldás. -
3. Egy fontos megjegyzés. - 4. Speciális esetek. - 5. Numerikus példa.
19. §. Részlettörtekre-bontás 63-65
1. Az egyértelmű előállítás. - 2. Numerikus példa.
HARMADIK FEJEZET.
Permutatiók és combinatiók.
20. §. Permutatiók 65-67
21. §. A II(n) - n! növekedése 67-70
22. §. Permutatiók ismétléssel 70-74
1. A feladat jellemzése. Egyetlen elem ismétlődik. -
2. Akárhány elem ismétlődik. - 3. Megjegyzés.
23. §. Combinatiók ismétlés nélkül 74-82
1. A feladat kitűzése. - 2. A feladat megoldása. -
3. A symbolumok értelmének tágítása. - 4. Egy fontos
recurrens-formula. - 5. További összefüggések. - 6. Megjegyzés.
24. §. A binomiális tétel 83-84
25. §. A polynomiális tétel 84-86
1. A polynomiális tétel levezetése. - 2. A polynomiális
együtthatók kifejezése.
26. §. Speciális esetek 86-87
27. §. Fermat tétele 87-90
1. A kis Fermat-féle tétel. - 2. Általánosítás. - 3. Példa.
Megjegyzés.
8. §. A hatvány és a binomiál-együtthatók 90-91
29. §. Newton-féle interpolatiós képlet 92- 95
1. Az együtthatók kifejezése. - 2. Alkalmas jelölés
bevezetése.
30. §. Egy Euler-féle identitás 96- 97
31. §. A binomiál-együtthatók maximuma 97-98
32. §. A Fermat-hányados 98- 99
33. Combinatiók ismétléssel 100-105
1. A feladat kitűzése. - 2. Átalakítás az additiv számelmélet feladatává. - 3. Bizonyítás teljes inductióval. - 4. Átalakítások. - 5. Megjegyzés.
34. §. Dispositiók egyszerűen és ismétléssel 105-107
1. Dispositiók ismétlés nélkül. - 2. Dispositiók
ismétléssel.
35. §. Kapcsolat a polynomiális együtthatókkal 107
36. §. Az nm: m! és az mm: m ! hányados. Egy minimumfeladat 108-114
1. Az nm : m ! hányados vizsgálata. - 2. Egy minimumtétel. - 3. A hányados megbecsülése. - 4. Az mm:m ! hányados. 5. Egy általános minimum-tétel.
NEGYEDIK FEJEZET.
Lineáris egyenletek.
ELSŐ CÍM.
Az egyváltozós eset.
37. §. A lineáris függvény 114-116
1. A lineáris függés fogalma. - 2. Alaptételek.
38. §. A lineáris egyenlet megoldása 117-119
1. A megoldás feladata. A különböző esetek. -
2. A megfordítás kérdése.
39. §. A lineáris függvény értékmenete. Lineáris egyenlőtlenség
1. A függvény bárminő nagy, illetőleg kicsiny lesz.
2. A függvény positiv, illetőleg negatív értéke. 119-121
MÁSODIK CÍM.
A két- és többváltozós eset.
40. §. Kétváltozós lineáris függvény 121-126
1. Értelmezések. A függvény azonosan zérus. -2. A
függvény zérus-helyei. - 3. A zérus-helyek analytikai
alakja.
41. §. Két egyenlet két ismeretlennel A rendes eset;
a Cramer-szabály 126-128
1.A feladat kitűzése. - 2. A Cramer-szabály.
42. §. A kivételes esetek. Homogén rendszer 129-133
1. A kivételes esetek. - 2. Nem minden együttható
zérus. - 3. Minden együttható zérus. - 4. A homogén eset.
43. §. A másodrendű determináns. Alaptulajdonságok . 133-139
1. Értelmezések. - 2. Alap tények. - 3. A szorzási
theorema. - 4. A Cramer-szabály kifejezése. - 5. Két
azonosság.
44. §. A harmadrendű determináns 139-146
1. Értelmezés. - 2. Az inversio. - 3. Megjegyzés.
45. §. A harmadrendű determinánsokra vonatkozó alaptények 146-152
1. A determináns tagjainak előjele. - 2. Alaptulajdonságok. Megjegyzés. - 3. További determinánstételek. A szorzási tétel.
46. §. Három egyenlet három ismeretlennel. A rendes
eset; a Cramer-szabály 152-154
47. §. A kivételes esetek. Homogen-rendszer 154-164
1. A kivételes esetek rendszeres taglalása. - 2. A homogén eset. - 3. Numerikus példa.
48. §. Néhány fontosabb determináns-osztály 164-171
1. A reciprok-determináns. - 2. A Vandermoride-determináns. - 3. Symmetrikus determinánsok: Hankel-féle és cyklikus; Smith-féle. - 4. Lánctört-determináns. -
5. Ferdén symmetrikus és ferde determináns. - 6. Egypár érdekesebb harmadrendű determináns.
49. §. Általános észrevételek az n-változós esetre vonatkozólag 171-188
A feladat fogalmazása. - I. Az n-edrendü determináns. - II. n-egyenlet n-ismeretlennel. - III. Homogen
rendszer.
Idézett szerzők névjegyzéke 189

Dr. Grosschmid Lajos: Fejezetek az algebrából
Előszó 9
I. FEJEZET.
Egyváltozós polynom.
1. §. Értelmezések 11-14
1. Az ismeretesnek tekintett számkör. - 2. Egyváltozós polynom értelmezése; fokszám. - 3. Azonosan egyenlő polynomok.
Valódi fokszám.
2. §. Összeadás, kivonás; szorzás 14-16
1. Összeg, különbség; szorzat. Rendezett teljes alak. - 2. Öszszeg és szorzat együtthatói.
3. §. Alaptételek 16-19
1. A nem zérus-polynom nem azonosan zérus. Az azonosan
zérus polynom zérus-polynom. Ha f = 0, akkor f, közöl legalább
az egyik =0. - 2. A rendezett alak canonicus.
4. §. Fokszám-összefüggések 19-21
1. A valódi fokszám egyértelmű.-2. A szorzat-polynom fokszáma.
5. §. Az osztás feladata 21-24
1. Oszthatósági alaptények. - 2. Az oszthatóság alaptétele.
Megjegyzés.
6. §. Gyök ; gyöktényező 24-31
1. A gyökhely definitiója. Az algebra alaptétele. - 2. A Ruffini-szabály. Gyöktényezős előállítás. - 3. A gyökök maximális száma.
Többszörös gyökök.
II. FEJEZET.
Egyváltozós polynomok arithmetikája.
7. §. Főtöbbes - 32-38
1. Primaer polynomok. Aequivalentia. - 2. Polynomok főtöbbese. - 3. A főtöbbes jellegzetességei. Alaptények. Megjegyzés.
8. §. Főosztó; Euklides-féle algorithmus 39-44
1. Főosztó-polynom definitiója és existentiája. - 2. Az existentia bebizonyítása; Euklides-féle algorithmus.
9. §. Relative prim polynomok - - - 44-51
1. Értelmezés; alaptételek. - 2. 1 azonosság
discussiója. - 3. A főtöbbes és főosztó kapcsolata.
III. Fejezet.
Egész együtthatós polynomok.
10. §. Rationalitási kör, számtest. Irreducibilitás 2-58
1. A számtest értelmezése. - 2. Az irreducibilitás; következmények. - 3. Az irreducibilis polynom prim-polynom. Egyértelmű prímtényezős előállítás. Megjegyzés.
11. §. Gauss-tétel. - Schönemann-Eisenstein-tétel. -
Kronecker módszere 58-65
1. A polynom osztója. Gauss tétele. Megjegyzés. - 2. Schönemann-Eisenstein-tétel. Alkalmazás. - 3. Kronecker eljárása a reducibilitás eldöntésére.
IV. FEJEZET.
Substitutiók. - Véges csoportok.
12. §. Permutátiók és substitutiók 66-73
1. A substitutió, mint operator. - 2. A substitutiók componálása. - 3. Az associativ tulajdonság. - 4. Transpositiók. - 5. Reciprok substitutió.
13. §. Inversió 73-76
1. Definitió. Megjegyzés. - 2. Az inversiók alaptétele. -
3, Páros és páratlan substitutiók. Megjegyzések.
14. §. Substitutió-csoport ... 76 - 79
1. A csoport-tulajdonság. Alaptételek. - 2. Periódus; cyklikus csoport; index.
15. §. Cyklikus substitutiók 79-82
1. Definitió. - 2. Cyklusos előállítás. - 3. A transpositió
hatása a cyklusos előállításra.
16. §. A véges abstrakt csoport fogalma 82-87
1. A csoport definitiója; következmények. - 2. A Moore-Dickson-féle definitió. - 3. A Weber-féle definitió.
17. §. A véges csoport alaptulajdonságai 87-91
1. Reguláris substitutió; isomorphismus. Megjegyzés. -
2. Periódus ; alaptételek. - 3. Alcsoport.
18. §. Isomorphismus 91-97
1. Holoédrikus isomorphismus. - 2. Meriédrikus isomorphismus. Megjegyzés. - 3. Az alcsoportok correspondentiája. - 4. Az elemek periódus-összefüggése.
19. §. Transformátió. Hasonlóság. Invariáns alcsoport 97-102
1. Transformátió; alaptételek. - 2. Hasonló substitutiók. -
3. Invariáns alcsoport; maximális invariáns alcsoport.
V. Fejezet.
Determinánsok.
20. §. A determinánsok formális törvényei 103-107
1. A determináns definitiója; jelölési módok. Megjegyzés. -
2. Egy alaplemma. - 3. Sorok és oszlopok egymás helyett.
21. §. Alaptények 107-111
1. Sorok és oszlopok cseréje. - 2. Algebrai minor; a determináns kifejtése. - 3. Operatiók a sorokon és oszlopokon.
22. §. Néhány egyszerű alkalmazás 111-115
1. A Vandermonde-determináns. - 2. A Cramer-Bézout-formulák. - 3. Az n-edfokú polynom maximális gyök-számossága.
23. §. A szorzási tétel 115-117
1. Előkészítő tétel. - 2. A szorzási theorema verificálása.
24. §. A Laplace-tétel - 117-121
1. A tétel és bizonyítása. - 2. Alkalmazás a szorzási tételre.
25. §. Alkalmazások ... 121-124
1. Az algebrai minorok determinánsa. - 2. Egy Lagrange-identitás. - 3. Egy Euler-azonosság.
26. §. A Cauchy-féle kifejtés. - Alkalmazás 124-128
1. A Cauchy-kifejtés. - 2. Második verificálás. - 3. Szegélyezett determináns.
27. §. A minor-determinánsok alaptétele _ 128-131
1. A tétel bizonyítása. - 2. Néhány fontos speciális eset.
28. §. Symmetrikus determinánsok 131-136
1. A symmetrikus determinánsok alaptulajdonságai. - 2. Nevezetesebb symmetrikus determinánsok : Hankel-féle, cyklikus, Smith-féle. Megjegyzés.
29. §. Ferdén symmetrikus és ferde determinánsok ... 136-139
1. Ferdén symmetrikus determinánsok; Pfaffián. - 2. Ferde
determináns.
30. §. Példák 139-140
31. §. Históriai és irodalmi megjegyzések 140-141
VI. FEJEZET.
Lineáris egyenletrendszer.
32. §. Mátrix; rang... _ 142-143
33. §. A lineáris függetlenség alaptétele 144-147
1. Definitiók. - 2. Az alaptétel.
34. §. Homogén lineáris egyenletrendszer 148-150
35. §. Független megoldási rendszer; alaprendszer... 150-154
1. Független megoldási rendszer. - 2. A független megoldások
maximuma: (n-r). - 3. Frobenius módszere. - 4. Alkalmazás. -
5. Numerikus példa.
36. §. Inhomogén rendszer 154-156
37. §. Alkalmazások 156-158
1. Az m = n eset. - 2. Numerikus példa. - 3. A saeculáris
egyenlet.
VII. FEJEZET.
Többváltozós polynom.
38. §. Elnevezések; alaptények 159-166
1. Rendezett; jói-rendezett polynom ; fokszámok ; homogeneitás. - 2. A nem zérus-polynom nem azonosan zérus. - 3. A jólrendezett alak canonieus. Megjegyzés.
39. §. Egy speciális rendezési mód 167-170
1. Rendezés a tagok magassága szerint. - 2. A lexikographikus rendezés.
40. §. Homogén polynomok 170-175
1. Értelmezések. - 2. A homogén és inhomogén polynomok
correspondentiája. - 3. Felirás polynomiális együtthatókkal.
41. §. A „teljes" polynom tagszáma 175-178
1. A teljes polynom tagszáma. - 2. A rendezett általános
polynom tagszáma.
42. §. A szorzat-polynom fokszáma 178-179
43. §. Oszthatóság. Rationalitási kör 180
44. §. Többváltozós polynomok tényezőkre bomlása... 181-188
1 A főtétel és a fundamentális tény összefüggése. - 2. Az
alaptétel bizonyítása. - 3. Észrevételek. Megjegyzés.
45. §. Az euklidesi algorithmushoz analóg osztási
láncolat 188-197
1. A feladat jellemzése. Az osztási alaptétel analogonja. Megjegyzések. - 2. Az Euklides-féle processus analogonja. - 3. Közös osztó polynomok. észrevételek. - 4. Megadott változóra vonatkozó primitív főosztó.
46. §. Az általános és a symmetrikus determinánsok
irreducibilitása 198-203
1. A tételek formulázása. - 2. Az általános determináns
irreducibilitása. - 3. A symmetrikus determináns irreducibilitása.
Megjegyzések.
VIII. FEJEZET.
Resultáns és discrimináns.
47. §. Az f(x) és (x) polynomok resultánsa 204-211
1. A resultáns bevezetése. - 2. Sylvester dialytikus módszere. - 3. Kiegészítő megállapodások. A resultáns kriterium-jellege.
48. §. A resultáns-polynom alaptulajdonságai 212-219
1. Az első három alaptulajdonság. - 2. A reductió-tétel.
Alkalmazás. Megjegyzés. - 3. Az V. tulajdonság.
49. §. A resultáns változása lineáris transiormátió
által 219-228
1. A lineáris transformátió elemei. - 2. A translátióhoz tartozó képlet. Megjegyzés. - 3. Az általános képlet.
50. §. A resultáns egyéb tulajdonságai 228-234
1. A szorzási tétel. - 2. Általánosítás. - 3. Formális és
reducált resultáns. Egy Jacobi-féle relátió.
51. §. A főosztó előállítása 234-241
1. Subresultánsok. - 2. A főosztó, mint determináns. Megjegyzés.
52. §. A resultáns, ha a polynomok lineáris tényezők
szorzatára bomlanak 241-245
1. Az alapképletek. - 2. A sorzási tétel; a reductió-tétel.
53. §. A discrimináns „ ... ... - 245-24
1. A discrimináns definitiója. - 2. A discrimináns szorzási
tétele. - 3. A discrimináns, ha az f lineáris tényezők szorzata.
54. §. A legegyszerűbb speciális esetek - 248-250
1. Resultánsok. - 2. Discriminánsok.
Szerzők névjegyzéke 251

Témakörök